1. Seja D a regiāo limitada abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2 e acima pelo plano z=1. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de D, usando as ordens de integração a seguir.
    (a) d rho d phi d theta
    (b) d phi d rho d theta

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D que fica acima do cone
z = raizx^2 + y^2
e abaixo do plano
z = 1,
usando coordenadas esféricas (rho,phi,theta). Lembrando que
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi
e o elemento de volume é
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
A interseção do cone com o plano ocorre em z = r e z=1, ou seja, em r=1, de onde na esfera phi=pi/4.

Passo 2

Determinamos os limites de phi e rho de maneira natural:
– A região está acima do cone, isto é phi vai de 0 até pi/4.
– Em cada phi, o plano z=1 rhocosphi=1, logo
0 <= rho <= 1cosphi
Como theta recorre toda a volta, thetain[0,2pi].

Passo 3

(a) Ordem drho,dphi,dtheta. O volume é
integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi/4 integralrho=0^1/cosphi rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

(b) Ordem dphi,drho,dtheta. Agora fixamos rho primeiro e achamos para que phi o ponto (rho,phi) ainda satisfaça rhocosphi<=1 e phi<=pi/4.
  1. Se 0<=rho<=1, então rhocosphi<=1 para todo phiin[0,pi/4].
  2. Se 1<rho<=raiz2, temos cosphi<=1/rho, isto é phi>=arccos(1/rho), e ainda phi<=pi/4.
O valor máximo de rho na fronteira phi=pi/4 é rho=1/cos(pi/4)=raiz2.

Passo 5

Escrevendo a integral em duas fatias de rho, o volume em ordem dphi,drho,dtheta é
integraltheta=0^2pi gl[ integralrho=0^1 l(integralphi=0^pi/4rho^2sinphi,dphir)drho ;+; integralrho=1^raiz2 l(integralphi=arccos(1/rho)^pi/4rho^2sinphi,dphir)drho gr]dtheta

Resposta

(a)
integral0^2pi integral0^pi/4 integral0^1/cosphi rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta
(b)
integral0^2pi gl[ integral0^1 l(integral0^pi/4rho^2sinphi,dphir)drho + integral1^raiz2 l(integralarccos(1/rho)^pi/4rho^2sinphi,dphir)drho gr] ,dtheta

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