- Seja
a regiāo limitada abaixo pelo cone
e acima pelo plano
. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de
, usando as ordens de integração a seguir.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
que fica acima do cone
e abaixo do plano
usando coordenadas esféricas
. Lembrando que
e o elemento de volume é
A interseção do cone com o plano ocorre em
e
, ou seja, em
, de onde na esfera
.
Passo 2
Determinamos os limites de
e
de maneira natural:
– A região está acima do cone, isto é vai de
até
.
– Em cada , o plano
dá
, logo
– A região está acima do cone, isto é
– Em cada
Como
recorre toda a volta,
.
Passo 3
(a) Ordem
. O volume é
Passo 4
(b) Ordem
. Agora fixamos
primeiro e achamos para que
o ponto
ainda satisfaça
e
.
- Se
, então para todo . - Se
, temos , isto é , e ainda .
O valor máximo de
na fronteira
é
.
Passo 5
Escrevendo a integral em duas fatias de
, o volume em ordem
é
Resposta
(a)
(b)