Seja D a região do plano entre a parábola y=6-x^2 e a reta y+2 x=3. Calcule a área de D, a massa e o centro de massa de uma lâmina com a forma de D e densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região que está entre a parábola e a reta . Além disso, queremos encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina com essa forma e densidade constante. Vamos usar conceitos de cálculo, como integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso vai nos dar os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
6 - x^2 = 3 - 2x
Resolvendo essa equação:
6 - x^2 = 3 - 2x - x^2 + 2x + 3 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4(1)(-3)2(1) = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos:
x = 62 = 3 e x = -22 = -1
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração ( yparábola = 6 - 0 = 6 yreta = 3 - 0 = 3 e ), vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Para entre -1 e 3:
  • A parábola é
  • A reta rearranjada é
Vamos analisar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
á
Então, a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos calcular a área A = integral-1^3 ( yparábola - yreta ) dx = integral-1^3 ( (6 - x^2) - (3 - 2x) ) dx da região (6 - x^2) - (3 - 2x) = 3 - x^2 + 2x usando a integral definida da diferença entre as duas funções:
A = integral-1^3 (3 + 2x - x^2) dx á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,

Passo 6

Vamos calcular a integral:
A = integral-1^3 (3 + 2x - x^2) dx = [ 3x + x^2 - x^33 ]-1^3
Calculando nos limites:
Para 3(3) + (3)^2 - (3)^33 = 9 + 9 - 273 = 18 - 9 = 9 :
3(-1) + (-1)^2 - (-1)^33 = -3 + 1 - ( -13 ) = -3 + 1 + 13 = -2 + 13 = -53
Para A = 9 - ( -53 ) = 9 + 53 = 273 + 53 = 323 :
Subtraindo:

Passo 7

Agora, vamos calcular a massa M = A = 323 da lâmina. Como a densidade é constante, podemos dizer que . Mas como a densidade é constante e não foi especificado um valor, podemos considerar para simplificar:

Passo 8

Para encontrar o centro de massa x = 1A integral-1^3 x ( yparábola - yreta ) dx , precisamos calcular as coordenadas:
y = 1A integral-1^3 12 ( yparábola^2 - yreta^2 ) dx á
á
Vamos começar com .

Passo 9

Calculando x = 1323 integral-1^3 x (3 + 2x - x^2) dx = 332 integral-1^3 (3x + 2x^2 - x^3) dx :
integral (3x + 2x^2 - x^3) dx = 32x^2 + 23x^3 - 14x^4
Integrando:
32(9) + 23(27) - 14(81) = 272 + 18 - 814 = 544 + 724 - 814 = 454
Avaliando nos limites:
Para 32(1) + 23(-1) - 14(1) = 32 - 23 - 14 = 1812 - 812 - 312 = 712 :
454 - 712 = 13512 - 712 = 12812 = 323
Para x = 332 times 323 = 1 :
Subtraindo:
Então,

Passo 10

Agora, vamos calcular y = 1323 integral-1^3 12 ( (6 - x^2)^2 - (3 - 2x)^2 ) dx = 332 times 12 integral-1^3 ( (6 - x^2)^2 - (3 - 2x)^2 ) dx :
(6 - x^2)^2 = 36 - 12x^2 + x^4 (3 - 2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2
Primeiro, expandimos as expressões:
(6 - x^2)^2 - (3 - 2x)^2 = (36 - 12x^2 + x^4) - (9 - 12x + 4x^2) = 27 - 16x^2 + x^4 + 12x
Então,
y = 364 integral-1^3 (27 + 12x - 16x^2 + x^4) dx
Agora, a integral fica:
integral (27 + 12x - 16x^2 + x^4) dx = 27x + 6x^2 - 163x^3 + 15x^5
Integrando termo a termo:
27(3) + 6(9) - 163(27) + 15(243) = 81 + 54 - 144 + 2435 = -9 + 48.6 = 39.6
Avaliando nos limites:
Para 27(-1) + 6(1) - 163(-1) + 15(-1) = -27 + 6 + 163 - 15 = -21 + 53 - 0.2 = -16.866 :
39.6 - (-16.866) = 56.466
Para 364 times 1693 = 16964 approx 2.640625 :
Subtraindo:
Convertendo para frações exatas:

Resposta

A área de é unidades quadradas, a massa da lâmina é unidades de massa (considerando densidade 1) e o centro de massa está no ponto .

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