Seja a região do plano entre a parábola e a reta . Calcule a área de , a massa e o centro de massa de uma lâmina com a forma de e densidade constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região que está entre a parábola e a reta . Além disso, queremos encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina com essa forma e densidade constante. Vamos usar conceitos de cálculo, como integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde a parábola e a reta se interceptam. Isso vai nos dar os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo essa equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora que temos os limites de integração ( e ), vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Para entre -1 e 3:
A parábola é
A reta rearranjada é
Vamos analisar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Então, a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, podemos calcular a área da região usando a integral definida da diferença entre as duas funções:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Passo 7
Agora, vamos calcular a massa da lâmina. Como a densidade é constante, podemos dizer que . Mas como a densidade é constante e não foi especificado um valor, podemos considerar para simplificar:
Passo 8
Para encontrar o centro de massa , precisamos calcular as coordenadas:
y = 1A integral-1^3 12 ( yparábola^2 - yreta^2 ) dx á