Seja
a região do plano
delimitada pelas parábolas
e
.
Calcule a área de
. Compare a maneira como você resolve esta questão por meio de uma integral dupla com o método que você usava para resolver um problema como este quando era aluna de Cálculo 1.
Calcule a área de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região
do plano
delimitada pelas parábolas
e
.
Dados relevantes: as curvas são (parábola que abre para cima) e
(parábola que abre para baixo). A tarefa concreta é: encontrar a área da região comum entre essas duas curvas e comparar a resolução usando integral dupla com o método usual de Cálculo 1.
Dados relevantes: as curvas são
Passo 2
Primeiro precisamos achar onde as duas curvas se intersectam — isso nos dá os limites horizontais naturais da região. Para isso igualamos as duas expressões de
:
Agora resolvemos essa equação:
Substituindo em
(ou em
) obtemos
. Assim os pontos de interseção são
e
. Isso nos diz que, na horizontal, a região está entre
e
e, para cada
nessa faixa,
varia entre a parábola inferior e a superior (veremos no próximo passo).
Passo 3
Explicação didática: por que integrar 1 dá área? Se você imaginar dividir a região em retângulos muito pequenos de área aproximada
, somar todas essas
tende, no limite, à integral dupla de
sobre a região. Assim a área de
é
Pelo teorema de Fubini podemos calcular essa integral como uma integral iterada. Observando as curvas, para cada
com
a coordenada
varia da curva inferior
até a superior
. Portanto um modo direto de escrever a integral é
Aqui expliquei os limites: o limite interno em
vem da desigualdade
, que descreve exatamente a região
.
Passo 4
Vamos calcular a integral iterada escolhida, fazendo passo a passo e explicando cada operação (como você faria sem calculadora). Primeiro integramos em
:
Agora a integral em
fica
Para integrar, separemos termos:
Calcule cada termo. Para o primeiro:
Para o segundo:
Aqui podemos usar que
é função par, então
. Calculando:
logo
e então
Subtraindo:
Passo 5
Para fixar bem a ideia, mostro também a formulação da integral dupla trocando a ordem de integração (integrar primeiro em
, depois em
). Isso ilustra como montar limites quando você escolhe a outra ordem e por que às vezes é preciso dividir a integral em faixas.
Para um dado
, as restrições vindas de
e
equivalem a
Logo para um
fixo o valor admissível de
é
. Observe que
quando
, e o contrário quando
. Assim precisamos dividir a integral em duas faixas em
:
Calcule cada uma: o integrando em
dá
na primeira e
na segunda. Assim
A primeira integral:
Para a segunda, faça a substituição
(ou reconheça simetria): ela também vale
. Soma total
, mesmo resultado. Aqui vemos que trocar a ordem pode exigir dividir o intervalo de integração, o que às vezes dá trabalho extra.
Passo 6
Agora a comparação didática (jeito “Cálculo 1” vs integral dupla), com conselho para a prova:
- Método de Cálculo 1 (o que você provavelmente usava): identificar interseções
e , perceber que a curva superior é e a inferior é , e usar a fórmula da área entre curvas:
Esse método é direto, rápido e normalmente o mais prático em provas quando a região é “verticalmente simples” (ou seja, pode ser descrita como
com
variando entre duas funções).
- Método da integral dupla: começa do princípio conceitual (área =
). É mais geral e sistemático; você precisa descrever como conjunto de desigualdades e então escolher uma ordem de integração. Quando a região é simples no sentido vertical (como aqui), a integral dupla reduz-se ao cálculo do mesmo integral único de Cálculo 1. Quando a região não é simples (por exemplo, precisa ser cortada em várias partes para usar uma única ordem), o método por integrais simples pode ser mais prático se você escolher a orientação certa, ou então a integral dupla (talvez com troca de ordem ou mudança de variáveis) pode ser a melhor opção. Em resumo: são métodos equivalentes; escolha o que for mais direto pela forma da região. Use simetria sempre que puder para simplificar.
Resposta
Comparação: ambos os métodos dão o mesmo resultado; o método de Cálculo 1 (integral única