Seja D a região do plano x y delimitada pelas parábolas y=x^{2} e y=2-x^{2}.
Calcule a área de D. Compare a maneira como você resolve esta questão por meio de uma integral dupla com o método que você usava para resolver um problema como este quando era aluna de Cálculo 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região D do plano xy delimitada pelas parábolas y=x^{2} e y=2-x^{2}.
Dados relevantes: as curvas são y=x^{2} (parábola que abre para cima) e y=2-x^{2} (parábola que abre para baixo). A tarefa concreta é: encontrar a área da região comum entre essas duas curvas e comparar a resolução usando integral dupla com o método usual de Cálculo 1.

Passo 2

Primeiro precisamos achar onde as duas curvas se intersectam — isso nos dá os limites horizontais naturais da região. Para isso igualamos as duas expressões de y:
x^{2} = 2 - x^{2}.
Agora resolvemos essa equação:
2x^{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Substituindo em y=x^{2} (ou em y=2-x^{2}) obtemos y=1. Assim os pontos de interseção são (-1,1) e (1,1). Isso nos diz que, na horizontal, a região está entre x=-1 e x=1 e, para cada x nessa faixa, y varia entre a parábola inferior e a superior (veremos no próximo passo).

Passo 3

Explicação didática: por que integrar 1 dá área? Se você imaginar dividir a região em retângulos muito pequenos de área aproximada \Delta A, somar todas essas \Delta A tende, no limite, à integral dupla de 1 sobre a região. Assim a área de D é
\iint_{D} 1\,dA.
Pelo teorema de Fubini podemos calcular essa integral como uma integral iterada. Observando as curvas, para cada x com -1\le x\le 1 a coordenada y varia da curva inferior y=x^{2} até a superior y=2-x^{2}. Portanto um modo direto de escrever a integral é
\iint_{D} 1\,dA = \int_{x=-1}^{1} \left(\int_{y=x^{2}}^{\,2-x^{2}} 1\,dy\right) dx.
Aqui expliquei os limites: o limite interno em y vem da desigualdade x^{2}\le y\le 2-x^{2}, que descreve exatamente a região D.

Passo 4

Vamos calcular a integral iterada escolhida, fazendo passo a passo e explicando cada operação (como você faria sem calculadora). Primeiro integramos em y:
\int_{y=x^{2}}^{\,2-x^{2}} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{y=x^{2}}^{y=2-x^{2}} = (2 - x^{2}) - x^{2} = 2 - 2x^{2}.
Agora a integral em x fica
\int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2})\,dx.
Para integrar, separemos termos:
\int_{-1}^{1} 2\,dx - \int_{-1}^{1} 2x^{2}\,dx.
Calcule cada termo. Para o primeiro:
\int_{-1}^{1} 2\,dx = 2\bigl[x\bigr]_{-1}^{1} = 2(1 - (-1)) = 4.
Para o segundo:
\int_{-1}^{1} 2x^{2}\,dx = 2\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx.
Aqui podemos usar que x^{2} é função par, então \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx. Calculando:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3},
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\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3},
e então
\int_{-1}^{1} 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
Subtraindo:
\text{Área} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}.Á

Passo 5

Para fixar bem a ideia, mostro também a formulação da integral dupla trocando a ordem de integração (integrar primeiro em x, depois em y). Isso ilustra como montar limites quando você escolhe a outra ordem e por que às vezes é preciso dividir a integral em faixas.
Para um dado y, as restrições vindas de x^{2}\le y e y\le 2-x^{2} equivalem a
|x| \le \sqrt{y}\quad\text{e}\quad |x| \le \sqrt{2-y}.
Logo para um y fixo o valor admissível de x é |x|\le \min(\sqrt{y},\sqrt{2-y}). Observe que \sqrt{y}\le\sqrt{2-y} quando y\le 1, e o contrário quando y\ge 1. Assim precisamos dividir a integral em duas faixas em y:
\iint_{D} 1\,dA = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 1\,dx\right)dy + \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=-\sqrt{2-y}}^{\sqrt{2-y}} 1\,dx\right)dy.
Calcule cada uma: o integrando em x 2\sqrt{y} na primeira e 2\sqrt{2-y} na segunda. Assim
\int_{0}^{1} 2\sqrt{y}\,dy + \int_{1}^{2} 2\sqrt{2-y}\,dy.
A primeira integral:
\int_{0}^{1} 2y^{1/2}\,dy = 2\cdot\left[\frac{y^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
Para a segunda, faça a substituição u=2-y (ou reconheça simetria): ela também vale \tfrac{4}{3}. Soma total \tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}, mesmo resultado. Aqui vemos que trocar a ordem pode exigir dividir o intervalo de integração, o que às vezes dá trabalho extra.

Passo 6

Agora a comparação didática (jeito “Cálculo 1” vs integral dupla), com conselho para a prova:
  • Método de Cálculo 1 (o que você provavelmente usava): identificar interseções x=-1 e x=1, perceber que a curva superior é y=2-x^{2} e a inferior é y=x^{2}, e usar a fórmula da área entre curvas:
\text{Área}=\int_{-1}^{1} \bigl( (2-x^{2}) - x^{2} \bigr)\,dx = \int_{-1}^{1} (2-2x^{2})\,dx.Á
Esse método é direto, rápido e normalmente o mais prático em provas quando a região é “verticalmente simples” (ou seja, pode ser descrita como a\le x\le b com y variando entre duas funções).
  • Método da integral dupla: começa do princípio conceitual (área = \iint_{D} 1\,dA). É mais geral e sistemático; você precisa descrever D como conjunto de desigualdades e então escolher uma ordem de integração. Quando a região é simples no sentido vertical (como aqui), a integral dupla reduz-se ao cálculo do mesmo integral único de Cálculo 1. Quando a região não é simples (por exemplo, precisa ser cortada em várias partes para usar uma única ordem), o método por integrais simples pode ser mais prático se você escolher a orientação certa, ou então a integral dupla (talvez com troca de ordem ou mudança de variáveis) pode ser a melhor opção. Em resumo: são métodos equivalentes; escolha o que for mais direto pela forma da região. Use simetria sempre que puder para simplificar.

Resposta

\dfrac{8}{3}
Comparação: ambos os métodos dão o mesmo resultado; o método de Cálculo 1 (integral única \int_{-1}^{1}(2-2x^{2})\,dx) é mais direto aqui, enquanto a integral dupla ( \iint_{D}1\,dA) é mais geral e exige montar os limites (possivelmente dividindo em faixas).

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