Uma placa triangular tem o formato descrito pela região triangular no plano x y com vértices (0,0),(0,1) e (1,1). Se a função densidade é dada por \rho(x, y)=\sqrt{1+y^{2}}, calcule e massa da placa. Sugestão: escreva a integral dupla correspondente como integral iterada de duas formas, e observe que uma delas é bem mais fácil de calcular que a outra.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a massa da placa triangular cuja densidade é dada por \rho(x,y)=\sqrt{1+y^{2}}.
Informações fornecidas:
  • A região triangular D no plano xy tem vértices em (0,0), (0,1) e (1,1).
  • A densidade é \rho(x,y)=\sqrt{1+y^{2}}.
  • O enunciado sugere escrever a integral dupla como integrais iteradas de duas formas (ordens diferentes) e observar que uma é bem mais fácil.
Dados úteis que extraio do enunciado:
  • A massa da placa é dada pela integral dupla
\text{massa}=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA.
  • Precisamos descrever D de duas maneiras para obter as duas ordens de integração.

Passo 2

Descrever geometricamente a região D e traduzi-la em desigualdades.
A figura dos vértices (0,0), (0,1), (1,1) é um triângulo cuja hipotenusa é a reta que liga (0,0) a (1,1), isto é, a reta \,y=x. A outra aresta é a vertical \,x=0 entre y=0 e y=1, e a terceira é a horizontal \,y=1 entre x=0 e x=1.
Duas descrições equivalentes para D (úteis para as duas ordens):
  • Para x fixo: 0\le x\le 1 e x\le y\le 1. Então
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x\le y\le 1\}.
  • Para y fixo: 0\le y\le 1 e 0\le x\le y. Então
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; 0\le x\le y\}.

Passo 3

Escrever as duas integrais iteradas correspondentes à massa.
Usando a primeira descrição (integrar em y primeiro):
\text{massa}=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x}^{1} \sqrt{1+y^{2}}\,dy\right)dx.
Usando a segunda descrição (integrar em x primeiro):
\text{massa}=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y} \sqrt{1+y^{2}}\,dx\right)dy.
Observação importante (por que uma é mais fácil): note que \sqrt{1+y^{2}} não depende de x. Na segunda forma a integral interna é em x e, por não depender de x, torna-se trivial — gera apenas um fator do comprimento do intervalo em x. Na primeira forma a integral interna é em y de \sqrt{1+y^{2}}, que exige uma primitiva envolvendo funções hiperbólicas ou substituições (mais trabalhosa). Portanto escolhemos a segunda ordem.

Passo 4

Executar a integral mais simples: integrar em x primeiro.
Começamos por
\text{massa}=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y} \sqrt{1+y^{2}}\,dx\right)dy.
Como \sqrt{1+y^{2}} é constante em relação a x, a integral interna é
\int_{x=0}^{y} \sqrt{1+y^{2}}\,dx = \sqrt{1+y^{2}}\cdot\bigl[x\bigr]_{0}^{y} = \sqrt{1+y^{2}}\cdot y.
Logo a massa reduz-se à integral de uma variável:
\text{massa}=\int_{y=0}^{1} y\sqrt{1+y^{2}}\,dy.
Aqui uma pequena explicação de técnica: quando uma função integranda não depende da variável de integração interna, é sempre vantajoso integrar primeiro nessa variável — isso simplifica a integral dupla para uma integral mais simples. É exatamente o caso aqui.

Passo 5

Calcular a integral de uma variável \int_{0}^{1} y\sqrt{1+y^{2}}\,dy usando substituição.
Vamos usar a substituição clássica para integrandos do tipo y\sqrt{1+y^{2}}:
Defina \,u=1+y^{2}. Então
du = 2y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy = \tfrac{1}{2}\,du.
Quando y=0 temos u=1. Quando y=1 temos u=1+1^{2}=2.
Substituindo na integral:
\int_{y=0}^{1} y\sqrt{1+y^{2}}\,dy = \int_{u=1}^{2} \sqrt{u}\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{u=1}^{2} u^{1/2}\,du.
Agora integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{2} =\tfrac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr).

Passo 6

Simplificar o resultado e apresentar a massa final.
Calculando 2^{3/2}: 2^{3/2}=2\sqrt{2}. Assim
\text{massa}=\tfrac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).
Breve comentário de encorajamento: deu trabalho descrever a região direitinho e escolher a ordem certa, mas essa escolha transformou uma integral complicada numa integral fácil — truque de prova: sempre olhe se o integrando depende de uma das variáveis; integrar primeiro nessa variável costuma simplificar muito.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)

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