Uma placa triangular tem o formato descrito pela região triangular no plano
com vértices
e
. Se a função densidade é dada por
, calcule e massa da placa. Sugestão: escreva a integral dupla correspondente como integral iterada de duas formas, e observe que uma delas é bem mais fácil de calcular que a outra.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a massa da placa triangular cuja densidade é dada por
.
Informações fornecidas:
- A região triangular
no plano tem vértices em , e . - A densidade é
. - O enunciado sugere escrever a integral dupla como integrais iteradas de duas formas (ordens diferentes) e observar que uma é bem mais fácil.
Dados úteis que extraio do enunciado:
- A massa da placa é dada pela integral dupla
- Precisamos descrever
de duas maneiras para obter as duas ordens de integração.
Passo 2
Descrever geometricamente a região
e traduzi-la em desigualdades.
A figura dos vértices
,
,
é um triângulo cuja hipotenusa é a reta que liga
a
, isto é, a reta
. A outra aresta é a vertical
entre
e
, e a terceira é a horizontal
entre
e
.
Duas descrições equivalentes para
(úteis para as duas ordens):
- Para
fixo: e . Então
- Para
fixo: e . Então
Passo 3
Escrever as duas integrais iteradas correspondentes à massa.
Usando a primeira descrição (integrar em
primeiro):
Usando a segunda descrição (integrar em
primeiro):
Observação importante (por que uma é mais fácil): note que
não depende de
. Na segunda forma a integral interna é em
e, por não depender de
, torna-se trivial — gera apenas um fator do comprimento do intervalo em
. Na primeira forma a integral interna é em
de
, que exige uma primitiva envolvendo funções hiperbólicas ou substituições (mais trabalhosa). Portanto escolhemos a segunda ordem.
Passo 4
Executar a integral mais simples: integrar em
primeiro.
Começamos por
Como
é constante em relação a
, a integral interna é
Logo a massa reduz-se à integral de uma variável:
Aqui uma pequena explicação de técnica: quando uma função integranda não depende da variável de integração interna, é sempre vantajoso integrar primeiro nessa variável — isso simplifica a integral dupla para uma integral mais simples. É exatamente o caso aqui.
Passo 5
Calcular a integral de uma variável
usando substituição.
Vamos usar a substituição clássica para integrandos do tipo
:
Defina
. Então
Quando
temos
. Quando
temos
.
Substituindo na integral:
Agora integrar
:
Portanto
Passo 6
Simplificar o resultado e apresentar a massa final.
Calculando
:
. Assim
Breve comentário de encorajamento: deu trabalho descrever a região direitinho e escolher a ordem certa, mas essa escolha transformou uma integral complicada numa integral fácil — truque de prova: sempre olhe se o integrando depende de uma das variáveis; integrar primeiro nessa variável costuma simplificar muito.