Seja
a região
e
números reais dados). Verifique que
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a integral dupla de
sobre o disco centrado em
de raio
pode ser escrita em coordenadas polares deslocadas. Para isso, vamos usar a mudança de variáveis em integrais múltiplas, que exige o cálculo do jacobiano.
Passo 2
Fazemos a substituição para coordenadas polares centradas em
:
Definimos também
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação. As derivadas parciais formam a matriz
O determinante é
logo
Passo 4
A condição
vira
, ou seja,
e
. Substituindo na integral original:
que coincide com o resultado desejado.