Seja D a região (x-a)^2+(y-b)^2 <= r^2(0 e b números reais dados). Verifique que
integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^2 pi integral0^r r g(r, theta)) d r d theta
onde g(r, theta)=f(a+r cos theta, b+r sen theta).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral dupla de f(x,y) sobre o disco centrado em (a,b) de raio r pode ser escrita em coordenadas polares deslocadas. Para isso, vamos usar a mudança de variáveis em integrais múltiplas, que exige o cálculo do jacobiano.

Passo 2

Fazemos a substituição para coordenadas polares centradas em (a,b):
x = a + ρcosθ, y = b + ρsinθ
Definimos também
g(ρ,θ) = fl(a + ρcosθ,; b + ρsinθr)

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação. As derivadas parciais formam a matriz
partial x/partial ρ & partial x/partial θ partial y/partial ρ & partial y/partial θ = cosθ & -ρsinθ sinθ & ρcosθ
O determinante é
det = ρ,
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dx,dy = ρ,dρ,dθ

Passo 4

A condição (x-a)^2+(y-b)^2<= r^2 vira ρ^2<= r^2, ou seja, 0<= ρ<= r e 0<= θ<= 2π. Substituindo na integral original:
integral duplaD f(x,y),dx,dy = integralθ=0^2πintegralρ=0^r g(ρ,θ),ρ,dρ,dθ,
que coincide com o resultado desejado.

Resposta

integral duplaD f(x,y),dx,dy = integral0^2pi integral0^r r,g(r,theta),dr,dtheta

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