Seja dada uma função f: A \rightarrow B. Se X e Y são subconjuntos do domínio A e se V e W são subconjuntos do contradomínio B, mostre que
a) Se X \subset Y então f(X) \subset f(Y).
b) Se V \subset W então f^{-1}(V) \subset f^{-1}(W).
c) X \subset f^{-1}(f(X)).
d) Se f é injetora então X=f^{-1}(f(X)).

Passo 1

O enunciado considera uma função f\colon A \to B, dois subconjuntos X,Y \subset A e dois subconjuntos V,W \subset B. Queremos demonstrar propriedades básicas de imagem direta f(X) e imagem inversa f^{-1}(V). Vamos usar definições elementares:
  • f(X)=\{\,f(x)\mid x\in X\}.
  • f^{-1}(V)=\{\,x\in A\mid f(x)\in V\}.

Passo 2

Demonstração de (a): “Se X \subset Y então f(X)\subset f(Y)”.
Suponha X \subset Y. Tome um elemento arbitrário y\in f(X). Por definição de imagem, existe x\in X tal que y=f(x). Como X\subset Y, esse mesmo x pertence a Y. Logo y=f(x)\in f(Y). Assim todo y\in f(X) está em f(Y), ou seja f(X)\subset f(Y).

Passo 3

Demonstração de (b): “Se V \subset W então f^{-1}(V)\subset f^{-1}(W)”.
Suponha V\subset W. Pegue x\in f^{-1}(V). Por definição de imagem inversa, f(x)\in V. Como V\subset W, segue f(x)\in W. Então x\in f^{-1}(W). Concluímos f^{-1}(V)\subset f^{-1}(W).

Passo 4

Demonstração de (c): “ X \subset f^{-1}(f(X))”.
Tome x\in X. Então, por definição, f(x)\in f(X). Mas isso significa exatamente que x\in f^{-1}(f(X)). Como a escolha de x foi arbitrária em X, temos X\subset f^{-1}(f(X)).

Passo 5

Demonstração de (d): “Se f é injetora então X=f^{-1}(f(X))”.
Já sabemos de (c) que X\subset f^{-1}(f(X)). Falta mostrar a inclusão inversa. Seja x\in f^{-1}(f(X)). Então f(x)\in f(X), ou seja existe x'\in X com f(x')=f(x). Mas como f é injetora, x=x'. Logo x\in X. Portanto f^{-1}(f(X))\subset X. Combinando as duas inclusões, obtemos a igualdade X=f^{-1}(f(X)).

Resposta

a) f(X)\subset f(Y) sempre que X\subset Y.
b) f^{-1}(V)\subset f^{-1}(W) sempre que V\subset W.
c) X\subset f^{-1}(f(X)).
d) Se f é injetora então X=f^{-1}(f(X)).

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