Seja dada uma função
. Se
e
são subconjuntos do domínio
e se
e
são subconjuntos do contradomínio
, mostre que
a) Se
então
.
b) Se
então
.
c)
.
d) Se
é injetora então
.
a) Se
b) Se
c)
d) Se
Passo 1
O enunciado considera uma função
, dois subconjuntos
e dois subconjuntos
. Queremos demonstrar propriedades básicas de imagem direta
e imagem inversa
. Vamos usar definições elementares:
-
. -
.
Passo 2
Demonstração de (a): “Se
então
”.
Suponha . Tome um elemento arbitrário
. Por definição de imagem, existe
tal que
. Como
, esse mesmo
pertence a
. Logo
. Assim todo
está em
, ou seja
.
Suponha
Passo 3
Demonstração de (b): “Se
então
”.
Suponha . Pegue
. Por definição de imagem inversa,
. Como
, segue
. Então
. Concluímos
.
Suponha
Passo 4
Demonstração de (c): “
”.
Tome . Então, por definição,
. Mas isso significa exatamente que
. Como a escolha de
foi arbitrária em
, temos
.
Tome
Passo 5
Demonstração de (d): “Se
é injetora então
”.
Já sabemos de (c) que . Falta mostrar a inclusão inversa. Seja
. Então
, ou seja existe
com
. Mas como
é injetora,
. Logo
. Portanto
. Combinando as duas inclusões, obtemos a igualdade
.
Já sabemos de (c) que
Resposta
a)
sempre que
.
b)
sempre que
.
c)
.
d) Se
é injetora então
.