Problema 4 (2.5 pts). Resolva a inequação
\frac{x}{2 x-3} \leq 3 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x}{2x-3}\le 3.
O conteúdo é inequação racional. Vamos precisar, primeiro, identificar o domínio da expressão (para não dividir por zero) e depois juntar tudo num único quociente, analisando o sinal de numerador e denominador.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo 2x-3\neq0, isto é,
x\neq \frac{3}{2}.

Passo 3

Colocamos tudo no lado esquerdo numa única fração:
\frac{x}{2x-3}-3\le0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-3(2x-3)}{2x-3}\le0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-6x+9}{2x-3}\le0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9-5x}{2x-3}\le0.

Passo 4

Para analisar \frac{9-5x}{2x-3}\le0 é prático inverter o sinal inteiro e mudar o sentido da desigualdade:
\frac{9-5x}{2x-3}\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{5x-9}{2x-3}\ge0.
Os pontos críticos são:
– Numerador zero em 5x-9=0, i.e.\ x=\frac{9}{5}.
– Denominador zero em 2x-3=0, i.e.\ x=\frac{3}{2}.

Passo 5

Fazemos o quadro de sinais para \frac{5x-9}{2x-3}:
Intervalos: (-\infty,\tfrac32), (\tfrac32,\tfrac95), (\tfrac95,\infty).
  1. Para x<\tfrac32, temos 5x-9<0 e 2x-3<0, logo o quociente é positivo.
  2. Para \tfrac32<x<\tfrac95, temos 5x-9<0 e 2x-3>0, quociente negativo.
  3. Para x>\tfrac95, temos 5x-9>0 e 2x-3>0, quociente positivo.
  4. Em x=\tfrac95, o quociente vale zero e satisfaz “ \ge0”. Em x=\tfrac32 a expressão é indefinida.
Portanto, a solução de \frac{5x-9}{2x-3}\ge0 (e logo da original) é
(-\infty,\tfrac32)\;\cup\;[\tfrac95,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,\tfrac32)\;\cup\;[\tfrac95,\infty).

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