Problema 1 (2.5 pts). Sejam p, q e r variáveis proposicionais. Suponha que q \wedge \neg r. Prove que (p \Rightarrow r) \Rightarrow \neg p.

Passo 1

O enunciado nos dá a premissa (q\land\neg r) e pede para provar (p\to r)\to\neg p. O conteúdo é lógica proposicional, e vamos usar eliminação de conjunção, modus ponens, introdução de negação e introdução de implicação.

Passo 2

Da premissa (q\land\neg r), por eliminação de conjunção extraímos \neg r.

Passo 3

Para demonstrar (p\to r)\to\neg p, assumimos provisoriamente p\to r
(hipótese para introdução de implicação).

Passo 4

Sob essa hipótese, nosso objetivo é chegar em \neg p. Então assumimos p
(hipótese para introdução de negação).

Passo 5

De p e p\to r, por modus ponens (eliminação de \to), obtemos r.

Passo 6

Agora temos r e já extraímos \neg r no Passo 2; aplicando eliminação de negação chegamos a uma contradição \bot.

Passo 7

Como a suposição p conduziu a \bot, concluímos \neg p
por introdução de negação, descartando a hipótese p.

Passo 8

Como a suposição p\to r levou a \neg p, concluímos
(p\to r)\to\neg p
por introdução de implicação, descartando a hipótese p\to r.

Resposta

(q\land\neg r)\vdash (p\to r)\to\neg p

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