Seja dada h(x, y)=e^{\sqrt{y-x^{2}}}.
(a) Calcule h(-2,5).
(b) Determine e esboce o domínio de h.
(c) Determine o conjunto imagem de h.

Passo 1

O enunciado define a função
h(x,y)=e^{\sqrt{\,y - x^2\,}}
e pede:
(a) o valor de h(-2,5),
(b) o domínio de h (com esboço),
(c) o conjunto imagem de h.
Para isso vamos usar propriedades de radiciação, desigualdades para domínio e o comportamento da função exponencial.

Passo 2

Para calcular h(-2,5) basta substituir (x,y)=(-2,5) em h:
h(-2,5) = e^{\sqrt{\,5 - (-2)^2\,}} = e^{\sqrt{\,5 - 4\,}} = e^{\sqrt{1}} = e^1 = e.

Passo 3

O domínio de h vem da condição de a raiz quadrada estar bem definida no conjunto dos reais, isto é,
y - x^2 \ge 0.
Logo o domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\}.

Passo 4

Para esboçar D, note que y = x^2 é uma parábola que se abre para cima. O domínio de h é toda a região do plano por cima dessa parábola (incluindo a própria curva).
\begin{array}{l} \text{– A borda }y = x^2\text{ faz parte de }D\text{ (radicando zero).}\\\ \text{– Para cada }x\text{, }y\text{ deve satisfazer }y\ge x^2. \end{array}

Passo 5

Para encontrar a imagem de h, observe que \sqrt{y - x^2} varia em [0,\infty) quando (x,y)\in D. Como a função exponencial e^u é crescente e mapeia [0,\infty) em [e^0,e^{+\infty})=[1,\infty), a imagem de h é
\operatorname{Im}(h) = [1,\infty).

Resposta

(a) h(-2,5)=e.
(b) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge x^2\}, ou seja, a região do plano por cima da parábola y=x^2.
(c) \operatorname{Im}(h)=[1,\infty).

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