f(x, y)=l x y x^2-y^2x^2+y^2, se(x, y) neq(0,0) 0, se(x, y)=(0,0)
Prove que:
(a) partial fpartial x(0, y)=-y, para y neq 0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x,y,dfracx^2-y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que, para yneq0,
partial fpartial x(0,y)=-y
Vamos usar a definição de derivada parcial em relação a x.

Passo 2

Pela definição de derivada parcial em x em (0,y) temos
partial fpartial x(0,y) =limhto0f(0+h,y)-f(0,y)h

Passo 3

Como yneq0, o ponto (0,y) não é (0,0), então
f(0,y) =0cdot y;0^2-y^20^2+y^2 =0

Passo 4

Para hneq0 o ponto (h,y)neq(0,0) e
f(h,y) =h,y;h^2-y^2h^2+y^2
Logo o quociente diferencial é
f(h,y)-f(0,y)h =h,y,h^2-y^2h^2+y^2-0h =y;h^2-y^2h^2+y^2

Passo 5

Basta agora tomar o limite hto0:
limhto0y;h^2-y^2h^2+y^2 =y;0-y^20+y^2 =y;-y^2y^2 =-y

Resposta

-y

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