Determine, quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham.
com a operaçöes
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a soma
e a multiplicação por escalar
Queremos ver se
satisfaz os oito axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Mostramos que
é isomorfo a
com operações usuais. Defina
Então, para quaisquer
e
e escalar
,
e ao mesmo tempo
logo
. Similarmente,
e
logo
. Como
é espaço vetorial e
preserva soma e escalar,
também é.
Passo 3
Só para confirmar no próprio
:
- Identidade aditiva:
, pois
- Inverso aditivo de
é , pois
- Todas as demais propriedades (comutatividade e associatividade da soma, distributividades, associatividade de escalares e unidade escalar) seguem do fato de operarmos coeficiente a coeficiente, igual a
.
Passo 4
Concluímos que todos os axiomas de espaço vetorial se cumprem em
.