Determine, quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham.
V=P1(R)=a x+b: a, b in R com a operaçöes (a x+b) oplus(c x+d)=(a+c) x+(b+d) e r odot(a x+b)=(r a) x+r b.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V = P1(R) = ,a x + b : a,binR
com a soma
(a x + b)oplus(c x + d) = (a+c)x + (b+d)
e a multiplicação por escalar
rodot(a x + b) = (r a)x + (r b)
Queremos ver se (V,oplus,odot) satisfaz os oito axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Mostramos que (V,oplus,odot) é isomorfo a R^2 com operações usuais. Defina
varphicolon V to R^2, varphi(a x + b) = (a,b)
Então, para quaisquer p=a x+b e q=c x+d e escalar r,
varphi(poplus q) = varphil((a+c)x+(b+d)r) = (a+c,;b+d)
e ao mesmo tempo
varphi(p)+varphi(q) = (a,b)+(c,d) = (a+c,;b+d),
logo varphi(poplus q)=varphi(p)+varphi(q). Similarmente,
varphil(rodot pr)=varphil((r a)x+(r b)r)=(r a,;r b)
e
rcdotvarphi(p)=rcdot(a,b)=(r a,;r b),
logo varphi(rodot p)=rcdotvarphi(p). Como R^2 é espaço vetorial e varphi preserva soma e escalar, V também é.

Passo 3

Só para confirmar no próprio V:
  1. Identidade aditiva: 0V=0x+0, pois
(a x+b)oplus(0x+0)=(a+0)x+(b+0)=a x+b
  1. Inverso aditivo de a x+b é (-a)x+(-b), pois
(a x+b)oplusl((-a)x+(-b)r)=0x+0
  1. Todas as demais propriedades (comutatividade e associatividade da soma, distributividades, associatividade de escalares e unidade escalar) seguem do fato de operarmos coeficiente a coeficiente, igual a R^2.

Passo 4

Concluímos que todos os axiomas de espaço vetorial se cumprem em (V,oplus,odot).

Resposta

V=P1(R) com as operações dadas é um espaço vetorial sobre R.

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