Seja
definida por
se
e
se
. Calcule o seguinte limite ou mostre que não existe.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
Temos o limite
Temos o limite
onde
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e comportamento assintótico de exponenciais. Vamos usar a substituição
.
Passo 2
Para pontos com
temos
e
À medida que
, temos
.
Passo 3
Quando
, então
e assim
muito mais rápido do que
. Para ver isso, faça a troca
, de modo que
e conforme
,
. Logo a parte interna do disco dá limite zero.
Passo 4
Para pontos com
temos
, logo
que também tende a 0 quando
se aproxima do ponto. Portanto a aproximação por dentro e por fora coincide.
Passo 5
Como os dois caminhos (por dentro e por fora do círculo) levam a zero, o limite existe e vale 0.
Resposta
0