Seja f(x, y) definida por f(x, y)=e^1x^2+y^2-1 se x^2+y^2<1 e f(x, y)=0 se x^2+y^2 >= 1. Calcule o seguinte limite ou mostre que não existe.
lim (x, y) (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2+y^2-1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
Temos o limite
lim(x,y)to(tfracraiz22,tfracraiz22)f(x,y)x^2+y^2-1
onde
f(x,y)=e^1/(x^2+y^2-1),&x^2+y^2<1,0,&x^2+y^2>=1
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e comportamento assintótico de exponenciais. Vamos usar a substituição h=x^2+y^2-1.

Passo 2

Para pontos com x^2+y^2<1 temos h<0 e
f(x,y)x^2+y^2-1=e^1/hh
À medida que (x,y)to(tfracraiz22,tfracraiz22), temos hto0^-.

Passo 3

Quando hto0^-, então 1/hto-infty e assim e^1/hto0 muito mais rápido do que |h|. Para ver isso, faça a troca t=-1/h>0, de modo que
e^1/hh=(-t)e^-t
e conforme tto+infty, (-t)e^-tto0. Logo a parte interna do disco dá limite zero.

Passo 4

Para pontos com x^2+y^2>1 temos f(x,y)=0, logo
f(x,y)x^2+y^2-1=0,
que também tende a 0 quando (x,y) se aproxima do ponto. Portanto a aproximação por dentro e por fora coincide.

Passo 5

Como os dois caminhos (por dentro e por fora do círculo) levam a zero, o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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