Utilizando derivação usual, para as funções f: R^2 R a seguir indicadas obtenha
partial f(x, y)partial x
e
partial f(x, y)partial y
f(x, y)=e^x^2y^2+1 ln (x^2+5 y^4+3)

Passo 1

Então, a gente tem uma função que depende de duas variáveis, f(x, y) = e^x^2y^2+1 ln (x^2+5 y^4+3) e . A função é:
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' em relação a , ou seja, .
Primeiro, identifiquemos duas partes na função que dependem de :
Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar u = e^x^2y^2+1 em relação a dudx = e^x^2y^2+1 cdot ddx(x^2y^2+1) :
ddx(x^2y^2+1) = 2xy^2+1
Usamos a regra da cadeia:
dudx = e^x^2y^2+1 cdot 2xy^2+1
Derivando o expoente:
Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar v = ln (x^2+5 y^4+3) em relação a dvdx = 1x^2+5 y^4+3 cdot ddx(x^2+5 y^4+3) :
ddx(x^2+5 y^4+3) = 2x
Usamos a regra da cadeia novamente:
dvdx = 2xx^2+5 y^4+3
Derivando o argumento:
Então,

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
partial fpartial x = dudx cdot v + u cdot dvdx
Substituindo:
partial fpartial x = (e^x^2y^2+1 cdot 2xy^2+1) cdot ln (x^2+5 y^4+3) + e^x^2y^2+1 cdot 2xx^2+5 y^4+3
Podemos fatorar partial fpartial x = e^x^2y^2+1 cdot 2x (ln (x^2+5 y^4+3)y^2+1 + 1x^2+5 y^4+3) :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = partial upartial y cdot v + u cdot partial vpartial y em relação a , ou seja, .
Novamente, temos um produto de duas funções:
Usamos a regra do produto:
Onde e .

Passo 7

Vamos derivar u = e^x^2y^2+1 em relação a partial upartial y = e^x^2y^2+1 cdot ddy(x^2y^2+1) :
ddy(x^2y^2+1) = -2x^2y(y^2+1)^2
Usamos a regra da cadeia:
partial upartial y = e^x^2y^2+1 cdot -2x^2y(y^2+1)^2
Derivando o expoente:
Então,

Passo 8

Agora, vamos derivar v = ln (x^2+5 y^4+3) em relação a partial vpartial y = 1x^2+5 y^4+3 cdot ddy(x^2+5 y^4+3) :
ddy(x^2+5 y^4+3) = 20 y^3
Usamos a regra da cadeia:
partial vpartial y = 20 y^3x^2+5 y^4+3
Derivando o argumento:
Então,

Passo 9

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = partial upartial y cdot v + u cdot partial vpartial y
Substituindo:
partial fpartial y = (e^x^2y^2+1 cdot -2x^2y(y^2+1)^2) cdot ln (x^2+5 y^4+3) + e^x^2y^2+1 cdot 20 y^3x^2+5 y^4+3
Podemos fatorar partial fpartial y = e^x^2y^2+1 ( -2x^2y ln (x^2+5 y^4+3)(y^2+1)^2 + 20 y^3x^2+5 y^4+3 ) :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = e^x^2y^2+1 cdot 2x (ln (x^2+5 y^4+3)y^2+1 + 1x^2+5 y^4+3) são:
partial fpartial y = e^x^2y^2+1 ( -2x^2y ln (x^2+5 y^4+3)(y^2+1)^2 + 20 y^3x^2+5 y^4+3 )
e

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