Utilizando derivação usual, para as funções
a seguir indicadas obtenha
e
Passo 1
Então, a gente tem uma função que depende de duas variáveis,
e
. A função é:
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, identifiquemos duas partes na função que dependem de
:
Como temos um produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Usamos a regra da cadeia:
Derivando o expoente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Usamos a regra da cadeia novamente:
Derivando o argumento:
Então,
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, temos um produto de duas funções:
Usamos a regra do produto:
Onde
e
.
Passo 7
Vamos derivar
em relação a
:
Usamos a regra da cadeia:
Derivando o expoente:
Então,
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Usamos a regra da cadeia:
Derivando o argumento:
Então,
Passo 9
Aplicando a regra do produto:
Substituindo:
Podemos fatorar
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e