-6. A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
, onde
é suposta diferenciável e
. Verifique que
- A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
um real fixo), onde
é suposta diferenciável e
. Verifique que
Passo 1
Enunciados e o que se pede:
-
Questão 6:
- Dada a função diferenciável
definida implicitamente por onde é diferenciável e . - Pede-se verificar que
- Dada a função diferenciável
-
Questão 7:
- Dada a função diferenciável
definida implicitamente por onde é real fixo, é diferenciável e . - Pede-se verificar que
- Dada a função diferenciável
Informações relevantes dadas:
é diferenciável, a derivada parcial em
não é zero (o que garante, pela teoria implícita, que
realmente é função diferenciável de
perto da região considerada). Nada mais é pedido além de verificar as identidades acima.
Passo 2
Lembrete útil (a aula rápida): como diferenciar implicitamente quando
depende de expressões que por sua vez dependem de
.
- Se definirmos
e e tivermos , então a derivada parcial de em relação a é, pela regra da cadeia para derivadas parciais, Aqui e são avaliadas em . Mesma fórmula vale para . - Quando temos uma equação implícita
, as derivadas parciais em e valem zero: A partir daí isolamos e (quando envolve ), usando que para dividir.
Passo 3
Resolução da Questão 6 — passo a passo bem mastigado.
-
Defina
e . Então a condição implícita é . -
Diferencie em relação a
(tratando como constante). Pela regra da cadeia, Agora calculee lembre que : Logo a equação fica -
Isolando
, -
Agora diferencie a mesma identidade em relação a
(tratando como constante). Pela regra da cadeia, Calculee : Assim -
Isolando
, -
Agora formamos a combinação solicitada
. Substitua as expressões encontradas:
- Somando os dois termos ocorre cancelamento perfeito:
Isso verifica a identidade pedida.
Passo 4
Resolução da Questão 7 — passo a passo bem mastigado.
-
DefinaA condição implícita é
. -
Diferencie em relação a
(com constante). Pela regra da cadeia,Calculamos os termos:Para usamos produto/regra da cadeia, lembrando que :Substituindo em , -
Reorganize para isolar
. Multiplique a equação por para simplificar:AssimDividindo por (permitido pois é não nulo), -
Agora diferencie em relação a
(com constante). Pela regra da cadeia,Calculamos(porque é constante na derivada parcial em ). Substituindo: -
Isolando
:portanto -
Agora formamos a combinação
. Substitua as expressões encontradas.Primeiro,Segundo, -
Somando os dois termos, de novo ocorre cancelamento dos termos que envolvem
:Isto verifica a identidade pedida na questão 7.