-6. A função diferenciável z=z(x, y) é dada implicitamente pela equação f\left(\frac{x}{y}, z\right)=0, onde f(u, v) é suposta diferenciável e \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \neq 0. Verifique que
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0
  1. A função diferenciável z=z(x, y) é dada implicitamente pela equação f\left(\frac{x}{y}, \frac{z}{x^{\lambda}}\right)=0(\lambda \neq 0 um real fixo), onde f(u, v) é suposta diferenciável e \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \neq 0. Verifique que
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\lambda z

Passo 1

Enunciados e o que se pede:
  • Questão 6:
    • Dada a função diferenciável z=z(x,y) definida implicitamente por f\!\left(\frac{x}{y},\,z\right)=0,onde f(u,v) é diferenciável e \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\neq 0.
    • Pede-se verificar que x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0.
  • Questão 7:
    • Dada a função diferenciável z=z(x,y) definida implicitamente por f\!\left(\frac{x}{y},\,\frac{z}{x^{\lambda}}\right)=0,onde \lambda\neq 0 é real fixo, f(u,v) é diferenciável e \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\neq 0.
    • Pede-se verificar que x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=\lambda z.
Informações relevantes dadas: f é diferenciável, a derivada parcial em v não é zero (o que garante, pela teoria implícita, que z realmente é função diferenciável de (x,y) perto da região considerada). Nada mais é pedido além de verificar as identidades acima.

Passo 2

Lembrete útil (a aula rápida): como diferenciar implicitamente quando f depende de expressões que por sua vez dependem de x,y,z(x,y).
  • Se definirmos u=u(x,y) e v=v(x,y) e tivermos \,F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)), então a derivada parcial de F em relação a x é, pela regra da cadeia para derivadas parciais, \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}.Aqui \frac{\partial f}{\partial u} e \frac{\partial f}{\partial v} são avaliadas em (u(x,y),v(x,y)). Mesma fórmula vale para \partial/\partial y.
  • Quando temos uma equação implícita f(u(x,y),v(x,y))=0, as derivadas parciais em x e y valem zero: \frac{\partial}{\partial x}f(u(x,y),v(x,y))=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}f(u(x,y),v(x,y))=0.A partir daí isolamos \partial z/\partial x e \partial z/\partial y (quando v envolve z), usando que \frac{\partial f}{\partial v}\neq 0 para dividir.

Passo 3

Resolução da Questão 6 — passo a passo bem mastigado.
  1. Defina u=\dfrac{x}{y} e v=z(x,y). Então a condição implícita é f(u,v)=0.
  2. Diferencie em relação a x (tratando y como constante). Pela regra da cadeia,
    \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=0.
    Agora calcule \partial u/\partial x e lembre que \partial v/\partial x=\partial z/\partial x:
    \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y}.
    Logo a equação fica
    \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{1}{y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=0.
  3. Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x},
    \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}.
  4. Agora diferencie a mesma identidade em relação a y (tratando x como constante). Pela regra da cadeia,
    \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=0.
    Calcule \partial u/\partial y e \partial v/\partial y:
    \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{y}\right)=-\frac{x}{y^{2}}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial y}.
    Assim
    \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=0.
  5. Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y},
    \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{y^{2}}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}.
  6. Agora formamos a combinação solicitada x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}. Substitua as expressões encontradas:
    x\frac{\partial z}{\partial x}=x\left(-\frac{1}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}\right)=-\frac{x}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}},
y\frac{\partial z}{\partial y}=y\left(\frac{x}{y^{2}}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}\right)=\frac{x}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}.
  1. Somando os dois termos ocorre cancelamento perfeito: x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{x}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}} +\frac{x}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}=0.Isso verifica a identidade pedida.

Passo 4

Resolução da Questão 7 — passo a passo bem mastigado.
  1. Defina
    u=\frac{x}{y},\qquad v=\frac{z}{x^{\lambda}}=z\cdot x^{-\lambda}.
    A condição implícita é f(u,v)=0.
  2. Diferencie em relação a x (com y constante). Pela regra da cadeia,
    \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=0.
    Calculamos os termos:
    \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y}.
    Para \partial v/\partial x usamos produto/regra da cadeia, lembrando que v=z(x,y)x^{-\lambda}:
    \frac{\partial v}{\partial x}=x^{-\lambda}\frac{\partial z}{\partial x}+z\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{-\lambda}\big) =x^{-\lambda}\frac{\partial z}{\partial x}+z\cdot(-\lambda)x^{-\lambda-1}.
    Substituindo em \partial f/\partial x=0,
    \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{1}{y}+\frac{\partial f}{\partial v}\left(x^{-\lambda}\frac{\partial z}{\partial x}-\lambda z x^{-\lambda-1}\right)=0.
  3. Reorganize para isolar \dfrac{\partial z}{\partial x}. Multiplique a equação por x^{\lambda} para simplificar:
    \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{x^{\lambda}}{y}+\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{\partial z}{\partial x}-\lambda\frac{z}{x}\right)=0.
    Assim
    \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{x^{\lambda}}{y}+\lambda\frac{z}{x}\frac{\partial f}{\partial v}.
    Dividindo por \dfrac{\partial f}{\partial v} (permitido pois é não nulo),
    \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x^{\lambda}}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}+\lambda\frac{z}{x}.
  4. Agora diferencie em relação a y (com x constante). Pela regra da cadeia,
    \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=0.
    Calculamos
    \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=x^{-\lambda}\frac{\partial z}{\partial y}
    (porque x^{-\lambda} é constante na derivada parcial em y). Substituindo:
    \frac{\partial f}{\partial u}\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\left(x^{-\lambda}\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0.
  5. Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y}:
    \frac{\partial f}{\partial v}\,x^{-\lambda}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{x}{y^{2}},
    portanto
    \frac{\partial z}{\partial y}=x^{\lambda+1}\cdot\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}.
  6. Agora formamos a combinação x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}. Substitua as expressões encontradas.
    Primeiro,
    x\frac{\partial z}{\partial x} =x\left(-\frac{x^{\lambda}}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}+\lambda\frac{z}{x}\right) =-\frac{x^{\lambda+1}}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}+\lambda z.
    Segundo,
    y\frac{\partial z}{\partial y} =y\left(x^{\lambda+1}\cdot\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}\right) =\frac{x^{\lambda+1}}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}.
  7. Somando os dois termos, de novo ocorre cancelamento dos termos que envolvem \dfrac{\partial f}{\partial u}:
    x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} =\left(-\frac{x^{\lambda+1}}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}}+\lambda z\right) +\frac{x^{\lambda+1}}{y}\cdot\frac{\dfrac{\partial f}{\partial u}}{\dfrac{\partial f}{\partial v}} =\lambda z.
    Isto verifica a identidade pedida na questão 7.

Resposta

x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=\lambda z

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