Seja f: R longrightarrow R definida por
f(x)=cc 3 x+3, & se x <= 0 x^2+4 x+3, & se x>0
Então:
(a) f é bijetiva e (f circ f)(-23)=f^-1(21).
(b) f é bijetiva e (f circ f)(-23)=f^-1(99).
(c) f é sobrejetiva e não injetiva.
(d) f é injetiva e não sobrejetiva.
(e) f é bijetiva e (f circ f)(-23)=f^-1(3).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 3x+3, & x<=0, x^2+4x+3, & x>0
e pede para verificar se f é injetiva, sobrejetiva (logo bijetiva) e ainda comparar (fcirc f)l(-tfrac23r) com f^-1(cdot). Vamos usar teoria de monotonicidade (para injeção e sobrejeção), definição de função inversa e composição de funções.

Passo 2

Para x<=0 temos f(x)=3x+3, reta de coeficiente angular 3>0, logo estritamente crescente nesse ramo. Para x>0,
f(x)=x^2+4x+3, f'(x)=2x+4>0 forall x>0,
portanto também estritamente crescente. Como o valor em x=0 coincide ( f(0)=3) e cada ramo é crescente, f é estritamente crescente em Bbb R, ou seja, injetiva.
Quanto à sobrejeção, em x<=0 f varia de -infty (quando xto-infty) até 3, e em x>0 varia de 3 (quando xto0^+) até +infty. Logo a imagem é Bbb R. Concluímos que f é bijetiva.

Passo 3

Calcular (fcirc f)l(-tfrac23r):
fl(-tfrac23r)=3l(-tfrac23r)+3=-2+3=1,
e como 1>0 usamos o segundo ramo:
f(1)=1^2+4cdot1+3=8
Logo
(fcirc f)l(-tfrac23r)=8

Passo 4

Calcular f^-1(99). Resolvemos f(x)=99.
Para x<=0:
3x+3=99implies x=32>0 (incompatível com x<=0) í
Para x>0:
x^2+4x+3=99implies x^2+4x-96=0implies x=-4pm202=-12 ou 8
Como queremos x>0, fica x=8. Assim
f^-1(99)=8

Passo 5

Observamos que f é bijetiva e
(fcirc f)l(-tfrac23r)=8=f^-1(99)
Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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