Seja
definida por
Então:
(a)
é bijetiva e
.
(b)
é bijetiva e
.
(c)
é sobrejetiva e não injetiva.
(d)
é injetiva e não sobrejetiva.
(e)
é bijetiva e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
é injetiva, sobrejetiva (logo bijetiva) e ainda comparar
com
. Vamos usar teoria de monotonicidade (para injeção e sobrejeção), definição de função inversa e composição de funções.
Passo 2
Para
temos
, reta de coeficiente angular
, logo estritamente crescente nesse ramo. Para
,
portanto também estritamente crescente. Como o valor em
coincide (
) e cada ramo é crescente,
é estritamente crescente em
, ou seja, injetiva.
Quanto à sobrejeção, em
varia de
(quando
) até
, e em
varia de
(quando
) até
. Logo a imagem é
. Concluímos que
é bijetiva.
Quanto à sobrejeção, em
Passo 3
Calcular
:
e como
usamos o segundo ramo:
Logo
Passo 4
Calcular
. Resolvemos
.
Para :
Para
Para
:
Como queremos
, fica
. Assim
Passo 5
Observamos que
é bijetiva e
Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)