Sejam f: R R dada por f(x)=l1, 0, se x<0 se x >= 0 e g: R--1 R dada por g(x)=2 x-4x+1. Determine f circ g.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai compor a função degrau f com a função racional g, então o conteúdo é composição de funções e análise de sinais de uma função racional. Primeiro, vamos resumir as definições: f muda de valor em zero, e g é uma razão de polinômios.

Passo 2

Começando a resolver, escrevemos a composição como f∘g(x)=f(g(x)). Pelas definições temos que f∘g(x)=1 se g(x)<0, e f∘g(x)=0 se g(x)≥0. Então precisamos achar onde g(x)<0 e onde g(x)≥0, lembrando que o domínio de g (e da composição) é ℝ{-1}.

Passo 3

Para estudar o sinal de g(x)= 2x-4x+1, achamos os pontos críticos: o numerador anula em x=2 e o denominador anula em x=-1 (fora do domínio). Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-∞,-1), (-1,2) e (2,∞). Testando um valor em cada intervalo, por exemplo x=-2, 0 e 3, vemos que g(x) é positivo em (-∞,-1), negativo em (-1,2) e positivo em (2,∞). No ponto x=2 temos g(2)=0.

Passo 4

Como g(x)<0 exatamente em (-1,2), concluímos que f∘g(x)=1 para x∈(-1,2). Para x em (-∞,-1)∪[2,∞) temos g(x)≥0, então f∘g(x)=0 nesses trechos. Só lembrando que x=-1 não pertence ao domínio.

Passo 5

Portanto, a composição fica definida por um passo de degrau em torno dos valores -1 e 2, com domínio ℝ{-1}.

Resposta

A função f∘g: ℝ{-1}→{0,1} é dada por
(fcirc g)(x)= 1,&xin(-1,2), 0,&xin(-∞,-1)cup[2,∞)

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