Seja f:(0,2) R definida por f(x)=1-x, se 0<x<1 e f(x)=x-1, se 1 <= x<2. Esboce no intervalo (-4,6) os gráficos das extensões par e ímpar 4-periódica de f e encontre uma série de senos e outra de cossenos para f.

Passo 1

O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
  1. construir a extensão 4-periódica par de ;
  2. construir a extensão 4-periódica ímpar de e esboçar seu gráfico em ;
  3. encontrar a série de cossenos (para a extensão par) e a série de senos (para a extensão ímpar) de período .
    Para isso vamos usar o fato de que, para uma função de período , as fórmulas dos coeficientes sobre o intervalo são

Passo 2

Construção das extensões e esboços
  • Extensão par 4-periódica: definimos Frm par(x) tal que
    1. em [0,2], Frm par(x)=f(x);
    2. para -2<= x<0, Frm par(x)=f(-x);
    3. repetimos isso a cada 4 unidades.
      O gráfico é uma “serrilhada triangular” simétrica em relação ao eixo y, com picos Frm par(2k)=1 e vales em x=2k+1 valendo 0.
  • Extensão ímpar 4-periódica: definimos Frm ímpar(x)í tal que
    1. em [0,2], Frm ímpar(x)=f(x)í;
    2. para -2<= x<0, Frm ímpar(x)=-,f(-x)í;
    3. repetimos a cada 4.
      Dá uma serrilhada que muda de sinal para x<0 e repete a cada 4.
      Em ambos os casos é só desenhar em [0,2] a reta decrescente de (0,1)to(1,0) e a crescente de (1,0)to(2,1), depois refletir de acordo com paridade e estender periodicamente até cobrir (-4,6).

Passo 3

Cálculo de a0 e an
Primeiro
integral0^2 f(x),dx =integral0^1(1-x),dx+integral1^2(x-1),dx =l[x-tfracx^22r]0^1+l[tfrac(x-1)^22r]1^2 =tfrac12+tfrac12=1,
logo
a0=12cdot1=12
Para n>=1 com alpha=tfracnpi2, faz-se a integral em dois pedaços e obtém-se (após integrações por partes)
an =2n^2pi^2l(1+(-1)^n-2costfracnpi2r)
Dessa fórmula verifica-se que an=0 para n ímpar, e quando n=2k aparece
a2k =1k^2pi^2l(1-(-1)^kr),
que só é não-nulo para k ímpar. Em particular, escrevendo n=4m+2,
a4m+2 =2(2m+1)^2pi^2, a4m+1=a4m+3=0

Passo 4

Série de cossenos (extensão par)
Como a0/2=1/4 e só há termos a4m+2, a expansão em cossenos de período 4 é
Frm par(x) =a02+sumn=1^infty ancos!l(tfracnpi x2r) =14 +summ=0^infty 2(2m+1)^2pi^2, cos!l((2m+1)pi xr)

Passo 5

Cálculo de bn
De modo análogo, para bn faz-se a integral
tfrac12!integral0^2f(x)sin(tfracnpi x2)dx
por partes e encontra-se que bn=0 para n par, e para n=2m+1
b2m+1 =2(2m+1)pi -4,(-1)^m(2m+1)^2pi^2

Passo 6

Série de senos (extensão ímpar)
Como a extensão ímpar não tem termo constante, a série é
Frm ímpar(x) =sumn=1^infty bn, sin!l(tfracnpi x2r) =summ=0^infty l[2(2m+1)pi -4,(-1)^m(2m+1)^2pi^2r], sin!l((2m+1)tfracpi x2r) í

Resposta

Série de cossenos (extensão par):
boxed f(x)=14 +summ=0^infty2(2m+1)^2pi^2 cos!l((2m+1)pi xr),
Série de senos (extensão ímpar):
boxed f(x)=summ=0^infty l[2(2m+1)pi -4(-1)^m(2m+1)^2pi^2r] sin!l((2m+1)tfracpi x2r)

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