Seja
definida por
, se
e
, se
. Esboce no intervalo
os gráficos das extensões par e ímpar 4-periódica de
e encontre uma série de senos e outra de cossenos para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- construir a extensão 4-periódica par de ;
- construir a extensão 4-periódica ímpar de
e esboçar seu gráfico em ; - encontrar a série de cossenos (para a extensão par) e a série de senos (para a extensão ímpar) de período
.
Para isso vamos usar o fato de que, para uma função de período, as fórmulas dos coeficientes sobre o intervalo são
Passo 2
Construção das extensões e esboços
- Extensão par 4-periódica: definimos
tal que - em
, ; - para
, ; - repetimos isso a cada
unidades.
O gráfico é uma “serrilhada triangular” simétrica em relação ao eixo, com picos e vales em valendo .
- em
- Extensão ímpar 4-periódica: definimos
tal que - em
, ; - para
, ; - repetimos a cada
.
Dá uma serrilhada que muda de sinal parae repete a cada .
Em ambos os casos é só desenhar ema reta decrescente de e a crescente de , depois refletir de acordo com paridade e estender periodicamente até cobrir .
- em
Passo 3
Cálculo de
e
Primeiro
Primeiro
logo
Para
com
, faz-se a integral em dois pedaços e obtém-se (após integrações por partes)
Dessa fórmula verifica-se que
para
ímpar, e quando
aparece
que só é não-nulo para
ímpar. Em particular, escrevendo
,
Passo 4
Série de cossenos (extensão par)
Como e só há termos
, a expansão em cossenos de período
é
Como
Passo 5
Cálculo de
De modo análogo, para faz-se a integral
por partes e encontra-se que para
par, e para
De modo análogo, para
por partes e encontra-se que
Passo 6
Série de senos (extensão ímpar)
Como a extensão ímpar não tem termo constante, a série é
Como a extensão ímpar não tem termo constante, a série é
Resposta
Série de cossenos (extensão par):
Série de senos (extensão ímpar):