Seja y=y(x) definida implicitamente por [0,5 pt].
(a) y(1) Determine [1,0 pt].
(b) y^prime(1) Determine h^prime(1)=0.
[Caso precise, você pode usar o resultado , mesmo sem ter feito o ítem 1)(a).]

Passo 1

O enunciado define y=y(x) implicitamente por
(y+x)e^-x+y^2sin^2(ln(x^2))=0
O conteúdo é derivação implícita e precisamos encontrar y(1) e y'(1).

Passo 2

Para achar y(1), substituímos x=1. Como ln(1^2)=0 e sin^2(0)=0, a equação vira
(y(1)+1)e^-1=0
Logo, y(1)=-1.

Passo 3

Fazemos derivada implícita em ambos os lados de
(y+x)e^-x+y^2sin^2(ln(x^2))=0
Usando regra do produto e cadeia, obtemos:
ddx[(y+x)e^-x]=e^-x(y'+1 -y -x),
ddx[y^2sin^2(ln(x^2))]=2y y'sin^2(ln(x^2))+y^2cdot2xsinl(2ln(x^2)r)
Portanto a soma é
e^-x(y'+1 -y -x)+2y y'sin^2(ln(x^2))+2y^2xsinl(2ln(x^2)r)=0

Passo 4

Avaliamo em x=1 e y(1)=-1. Como sin(0)=0, os termos com sin desaparecem e sobra
e^-1(y'(1)+1)=0
Logo, y'(1)=-1.

Resposta

y(1)=-1; y’(1)=-1

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