Seja
definida em
tal que
.
a) (1.0) Determine os máximos e mínimos de
no interior de
.
b) (1.0) Determine os máximos e mínimos de
na fronteira de
.
c) (0.5) Determine os máximos e mínimos globais de
em
e os pontos onde ocorrem esses valores.
a) (1.0) Determine os máximos e mínimos de
b) (1.0) Determine os máximos e mínimos de
c) (0.5) Determine os máximos e mínimos globais de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no disco
Vamos usar gradiente para achar os críticos no interior de
, método de multiplicadores (ou parametrização) para a fronteira
e, por fim, comparar valores para encontrar os extremos globais.
Passo 2
Para os pontos críticos internos calculamos
e igualamos a zero. Da segunda equação
vem
ou
.
- Se
, então leva a , mas . - Se
, então leva a , e esses pontos estão no interior.
Avaliam-se:
O Hessiano em
é definido positivo (mínimo local) e em
definido negativo (máximo local).
Passo 3
Na fronteira
usamos multiplicadores de Lagrange:
Isso leva, após manipulação, a
e
. Avaliando:
Assim o mínimo na fronteira é
em
e o máximo é
em
.
Passo 4
Comparando os valores obtidos:
Logo o menor valor de
em
é
em
e o maior é
em
.
Resposta
a) No interior de
: mínimo local em
com
; máximo local em
com
.
b) Na fronteira de : mínimo em
com
; máximo em
com
.
c) Os extremos globais em são mínimo global
em
e máximo global
em
.
b) Na fronteira de
c) Os extremos globais em