Seja f(x, y)=x^{3}+x y^{2}-9 x definida em D=\left\{(x, y)\right. tal que \left.x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.
a) (1.0) Determine os máximos e mínimos de f no interior de D.
b) (1.0) Determine os máximos e mínimos de f na fronteira de D.
c) (0.5) Determine os máximos e mínimos globais de f em D e os pontos onde ocorrem esses valores.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+xy^{2}-9x
definida no disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
Vamos usar gradiente para achar os críticos no interior de D, método de multiplicadores (ou parametrização) para a fronteira x^{2}+y^{2}=4 e, por fim, comparar valores para encontrar os extremos globais.

Passo 2

Para os pontos críticos internos calculamos
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+y^{2}-9,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2xy
e igualamos a zero. Da segunda equação 2xy=0 vem x=0 ou y=0.
  • Se x=0, então y^{2}-9=0 leva a y=\pm3, mas (0,\pm3)\notin D.
  • Se y=0, então 3x^{2}-9=0 leva a x=\pm\sqrt{3}, e esses pontos estão no interior.
Avaliam-se:
f(\sqrt{3},0)=(\sqrt{3})^{3}-9\sqrt{3}=3\sqrt{3}-9\sqrt{3}=-6\sqrt{3},
f(-\sqrt{3},0)=-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}=6\sqrt{3}.
O Hessiano em (\sqrt{3},0) é definido positivo (mínimo local) e em (-\sqrt{3},0) definido negativo (máximo local).

Passo 3

Na fronteira x^{2}+y^{2}=4 usamos multiplicadores de Lagrange:
\nabla f=\lambda\nabla(x^{2}+y^{2}-4).
Isso leva, após manipulação, a y=0 e x=\pm2. Avaliando:
f(2,0)=8-18=-10,\quad f(-2,0)=-8+18=10.
Assim o mínimo na fronteira é -10 em (2,0) e o máximo é 10 em (-2,0).

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
-6\sqrt{3}\approx -10{,}39 < -10,\qquad 6\sqrt{3}\approx 10{,}39 >10.
Logo o menor valor de f em D é -6\sqrt{3} em (\sqrt{3},0) e o maior é 6\sqrt{3} em (-\sqrt{3},0).

Resposta

a) No interior de D: mínimo local em (\sqrt{3},0) com f=-6\sqrt{3}; máximo local em (-\sqrt{3},0) com f=6\sqrt{3}.
b) Na fronteira de D: mínimo em (2,0) com f=-10; máximo em (-2,0) com f=10.
c) Os extremos globais em D são mínimo global f=-6\sqrt{3} em (\sqrt{3},0) e máximo global f=6\sqrt{3} em (-\sqrt{3},0).

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