(2.0) O valor da integral é \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \cos \left(y^{3}\right) d y d x :
a) () 3 \sin 8-1
b) ( ) 3 \sin 8
c) () 3(1-\sin 8)
d) () \frac{\sin 8-1}{3}
e) () \frac{\sin 8}{3}

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral
I = \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \cos\bigl(y^{3}\bigr)\,dy\,dx.
Esse problema envolve troca de ordem de integração e integração por substituição.

Passo 2

A região R no plano (x,y) é dada por
0 \le x \le 4,\quad \sqrt{x}\le y \le 2.
Como a curva y=\sqrt{x} equivale a x=y^{2}, podemos também descrever R por
0 \le y \le 2,\quad 0 \le x \le y^{2}.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, obtemos
I = \int_{y=0}^{2} \int_{x=0}^{y^{2}} \cos\bigl(y^{3}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Como \cos(y^{3}) independe de x,
\int_{0}^{y^{2}} \cos\bigl(y^{3}\bigr)\,dx = y^{2}\cos\bigl(y^{3}\bigr).
Portanto
I = \int_{0}^{2} y^{2}\cos\bigl(y^{3}\bigr)\,dy.

Passo 5

Fazendo a substituição
t = y^{3},\quad dt = 3y^{2}\,dy,\quad y=0\mapsto t=0,\quad y=2\mapsto t=8,
temos
I = \int_{0}^{8} \cos(t)\,\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\Bigl[\sin(t)\Bigr]_{0}^{8} = \frac{\sin(8)}{3}.

Resposta

(e) \displaystyle \frac{\sin 8}{3}

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