Encontre as dimensões de um retângulo com área de 25 m^{2} cujo perímetro seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões x e y de um retângulo tal que a área seja
xy = 25
e o perímetro
P = 2(x+y)
seja mínimo.
Conteúdo: otimização de função com restrição, usando derivada.

Passo 2

Usamos a restrição xy=25 para escrever y em função de x:
y = \frac{25}{x},\quad x>0.
Substituindo no perímetro, definimos a função a minimizar:
P(x) = 2\Bigl(x + \frac{25}{x}\Bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de P(x):
P'(x) = 2\Bigl(1 - \frac{25}{x^2}\Bigr).
Para extremo, impomos P'(x)=0, ou seja
1 - \frac{25}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x = 5
(consideramos x>0).

Passo 4

Verificamos que é mínimo calculando a segunda derivada:
P''(x) = 2\cdot\frac{50}{x^3} = \frac{100}{x^3},
que em x=5 vale P''(5)=\tfrac{100}{125}>0. Logo \,x=5 dá mínimo de P.

Passo 5

Finalmente, pela relação y=25/x, temos
y = \frac{25}{5} = 5.

Resposta

As dimensões que minimizam o perímetro são 5\text{ m} por 5\text{ m}.

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