Encontre as dimensões de um retângulo com área de
cujo perímetro seja o menor possível.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões
e
de um retângulo tal que a área seja
e o perímetro
seja mínimo.
Conteúdo: otimização de função com restrição, usando derivada.
Conteúdo: otimização de função com restrição, usando derivada.
Passo 2
Usamos a restrição
para escrever
em função de
:
Substituindo no perímetro, definimos a função a minimizar:
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para extremo, impomos
, ou seja
(consideramos
).
Passo 4
Verificamos que é mínimo calculando a segunda derivada:
que em
vale
. Logo
dá mínimo de
.
Passo 5
Finalmente, pela relação
, temos
Resposta
As dimensões que minimizam o perímetro são
por
.