Seja T: R^2 R^3 definida por
T(x, y)=(x-2 y, 2 x+y, x+y)
Sejam S e L as bases canônicas para R^2 e R^3, respectivamente. Além disso, sejam
S^prime=(1,-1),(0,1), L^prime=(1,1,0),(0,1,1),(1,-1,1)
bases para R^2 e R^3, respectivamente. Encontre a matriz de T relativa às bases

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x - 2y,;2x + y,;x + y,),
e pede a matriz de T relativa à base S'=(1,-1),(0,1) em R^2 e à base
L'=u1,u2,u3=(1,1,0),(0,1,1),(1,-1,1) em R^3.
Para montar [T]S',L', vamos calcular T em cada vetor de S' e depois expressar o resultado em coordenadas na base L'.

Passo 2

Calcular T nos vetores de S'.
1. Para v1=(1,-1):
T(1,-1) = l(1 - 2(-1),;2cdot1 + (-1),;1 + (-1)r) = (3,,1,,0)
2. Para v2=(0,1):
T(0,1) = l(0 - 2cdot1,;2cdot0 + 1,;0 + 1r) = (-2,,1,,1)

Passo 3

Expressar
o que gera o sistema
Da terceira equação .
Na primeira: .
Logo

Passo 4

Expressar
gera
Da terceira equação .
Na primeira: .
Logo

Passo 5

As colunas de [T]S',L' são os vetores de coordenadas encontrados:
[T]S',L' = 73 & -43[6pt] -23 & 53[6pt] 23 & -23 ]

Resposta

[T]S',L' = tfrac73 & -tfrac43 -tfrac23 & tfrac53 tfrac23 & -tfrac23

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