Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear T: R^2 R^2 que é feita multiplicando por uma matriz A . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação T tem uma inversa. Se tiver, a gente vai encontrar essa inversa T^-1 .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e determinantes. A ideia é que uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz A que está dada na questão:
A = 4 & 7 -1 & 3
Para saber se T tem inversa, precisamos calcular o determinante de A . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz A é invertível.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 2 times 2 como essa, o determinante é dado por:
det(A) = (a cdot d) - (b cdot c)
Onde:
A = a & b c & d
No nosso caso:
a = 4, b = 7, c = -1, d = 3
Então:
det(A) = (4 cdot 3) - (7 cdot -1) = 12 + 7 = 19
Como o determinante é 19, que é diferente de zero, a matriz A é invertível. Logo, a transformação T também tem inversa.
Passo 4
Agora que sabemos que A é invertível, vamos encontrar a inversa da matriz A , que é A^-1 . Para uma matriz 2 times 2 , a fórmula para a inversa é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores:
A^-1 = 119 3 & -7 1 & 4
Então:
A^-1 = 319 & -719 119 & 419
Passo 5
Com a inversa da matriz A em mãos, podemos agora expressar a inversa da transformação T , que é T^-1 . A transformação inversa T^-1 é simplesmente a multiplicação pela matriz A^-1 .