Sejam F, G in L(R^3, R^2) definidas por F(x, y, z)=(0,2 x) e G(x, y, z)=(x-y, x) e H in L(R^2) dado por H(x, y)=(x+y, x-y). Determinar :
a) Ho(2 F+3 G)

Passo 1

O enunciado fornece as transformações lineares F, Gcolon R^3toR^2 e Hcolon R^2toR^2 definidas por
F(x,y,z)=(0,2x), G(x,y,z)=(x-y,x), H(u,v)=(u+v,u-v)
Queremos encontrar a composição
Hcirc(2F+3G)colon R^3toR^2
Para isso, primeiro calculamos a combinação linear 2F+3G aplicada a um vetor genérico (x,y,z), depois aplicamos H ao resultado.

Passo 2

Para (x,y,z)inR^3 temos
2F(x,y,z) = 2,(0,2x) = (0,4x),
3G(x,y,z) = 3,(x-y,x) = (3x-3y,3x)
Somando essas duas imagens obtemos
(2F+3G)(x,y,z) = (0+3x-3y,;4x+3x) = (3x-3y,,7x)

Passo 3

Agora aplicamos H ao vetor (3x-3y,7x). Como
H(u,v)=(u+v,u-v),
substituímos u=3x-3y e v=7x e obtemos
(Hcirc(2F+3G))(x,y,z) =Hl(3x-3y,,7xr) =l((3x-3y)+7x,;(3x-3y)-7xr) =(10x-3y,,-4x-3y)

Resposta

(Hcirc(2F+3G))(x,y,z) = (10x - 3y,;-4x - 3y)

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