Suponha que 15% das famílias de certa comunidade não tenham filhos, 20% tenham 1 filho, tenham 2 filhos e tenham 3. Suponha também que, em cada família, cada filho tenha a mesma probabilidade (independente) de ser menino ou menina. Se uma família dessa comunidade é escolhida aleatoriamente, então , o número de meninos, e , o número de meninas nesta família. Determine a função de probabilidade conjunta de e .
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente uma família e medimos , o número de meninos, e , o número de meninas. O conteúdo aqui envolve mistura de distribuições: primeiro o número total de filhos tem distribuição discreta dada, e depois, dado , cada filho é menino ou menina com probabilidade , independentemente. Vamos usar probabilidade total e a distribuição binomial condicional.
Passo 2
Definimos como o número total de filhos. Pelas hipóteses do enunciado:
Passo 3
Dado , a quantidade de meninos segue distribuição binomial e . Ou seja,
Passo 4
Pela regra da probabilidade total para a conjunta de ,
Como e , a função de probabilidade conjunta é
Passo 5
Substituindo os valores de P(N=n), obtemos explicitamente:
pB,G(b,g) = 0,15,&(b,g)=(0,0), 0,20;binom1bl(tfrac12r)^1,&b+g=1, 0,35;binom2bl(tfrac12r)^2,&b+g=2, 0,30;binom3bl(tfrac12r)^3,&b+g=3, 0,&caso contrário á