Questão 53.

Suponha que 15% das famílias de certa comunidade não tenham filhos, 20% tenham 1 filho, 35 % tenham 2 filhos e 30 % tenham 3. Suponha também que, em cada família, cada filho tenha a mesma probabilidade (independente) de ser menino ou menina. Se uma família dessa comunidade é escolhida aleatoriamente, então B, o número de meninos, e G, o número de meninas nesta família. Determine a função de probabilidade conjunta de B e G.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente uma família e medimos B, o número de meninos, e G, o número de meninas. O conteúdo aqui envolve mistura de distribuições: primeiro o número total de filhos N tem distribuição discreta dada, e depois, dado N=n, cada filho é menino ou menina com probabilidade 1/2, independentemente. Vamos usar probabilidade total e a distribuição binomial condicional.

Passo 2

Definimos N=B+G como o número total de filhos. Pelas hipóteses do enunciado:
P(N=0)=0,15, P(N=1)=0,20, P(N=2)=0,35, P(N=3)=0,30

Passo 3

Dado N=n, a quantidade de meninos B segue distribuição binomial Bin(n,1/2) e G=n-B. Ou seja,
Pl(B=bmid N=nr) =binomnbl(tfrac12r)^bl(tfrac12r)^,n-b =binomnbl(tfrac12r)^n

Passo 4

Pela regra da probabilidade total para a conjunta de (B,G),
P(B=b,G=g) =Pl(N=b+gl);Pl(B=bmid N=b+gr)
Como B+G=N e N<=3, a função de probabilidade conjunta é
pB,G(b,g) = P(N=b+g),binomb+gbl(tfrac12r)^b+g,&b,g>=0,;b+g<=3, 0,&caso contrário á

Passo 5

Substituindo os valores de P(N=n), obtemos explicitamente:
pB,G(b,g) = 0,15,&(b,g)=(0,0), 0,20;binom1bl(tfrac12r)^1,&b+g=1, 0,35;binom2bl(tfrac12r)^2,&b+g=2, 0,30;binom3bl(tfrac12r)^3,&b+g=3, 0,&caso contrário á
Podemos ainda listar os valores numéricos:
c|cccc (b,g)&(0,0)&(1,0),(0,1)&(2,0),(1,1),(0,2)&(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)hline pB,G(b,g)&0,15&0,10&0,0875,,0,175,,0,0875&0,0375,,0,1125,,0,1125,,0,0375

Resposta

pB,G(b,g) = 0,15,&(b,g)=(0,0), 0,20binom1bl(tfrac12r)^1,&b+g=1, 0,35binom2bl(tfrac12r)^2,&b+g=2, 0,30binom3bl(tfrac12r)^3,&b+g=3, 0,&caso contrário á

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