Seja a densidade f(x)=k[1+\cos (x)], \pi / 2 \leq x \leq \pi e k>0.
a) Mostre que k=\frac{2}{(\pi-2)};
b) Calcule E(X);
c) Encontre a expressão para F(x);
d) Achar P(2 \pi / 3 \leq x \leq \pi).

Passo 1

O enunciado define uma função densidade
f(x)=k\bigl[1+\cos(x)\bigr],\quad \frac{\pi}{2}\le x\le\pi,
com k>0, e pede:
a) determinar k de modo que f seja densidade;
b) calcular a esperança E(X);
c) obter a função de distribuição acumulada F(x);
d) calcular P\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\le X\le\pi\bigr).
Para resolver, vamos usar integrais para normalização e para calcular momentos e probabilidades, além da definição de F(x)=\int_{\pi/2}^{x}f(t)\,dt.

Passo 2

Normalização de f:
1=\int_{\pi/2}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{\pi/2}^{\pi}k\bigl[1+\cos(x)\bigr]dx =k\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl[1+\cos(x)\bigr]dx.
Calcule a integral interna:
\int\bigl[1+\cos(x)\bigr]dx =x+\sin(x),
logo
\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl[1+\cos(x)\bigr]dx =\bigl[\;x+\sin(x)\bigr]_{\pi/2}^{\pi} =\bigl(\pi+0\bigr)-\bigl(\tfrac{\pi}{2}+1\bigr) =\tfrac{\pi}{2}-1.
Da normalização vem
1=k\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-1\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}-1} =\frac{2}{\pi-2}.

Passo 3

Cálculo de E(X):
E(X) =\int_{\pi/2}^{\pi}x\,f(x)\,dx =k\int_{\pi/2}^{\pi}x\bigl[1+\cos(x)\bigr]dx.
Separe em duas integrais e use integração por partes para \int x\cos(x)\,dx:
\int x\,dx=\frac{x^2}{2}, \quad \int x\cos(x)\,dx =x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx =x\sin(x)+\cos(x).
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\int_{\pi/2}^{\pi}x\bigl[1+\cos(x)\bigr]dx =\Bigl[\frac{x^2}{2}+x\sin(x)+\cos(x)\Bigr]_{\pi/2}^{\pi}.
Avalie nos limites:
em x=\pi obtemos \tfrac{\pi^2}{2}-1,
em x=\tfrac{\pi}{2} obtemos \tfrac{\pi^2}{8}+\tfrac{\pi}{2}.
A diferença é
\frac{3\pi^2}{8}-\frac{\pi}{2}-1.
Portanto
E(X) =k\Bigl(\frac{3\pi^2}{8}-\frac{\pi}{2}-1\Bigr) =\frac{2}{\pi-2}\Bigl(\frac{3\pi^2}{8}-\frac{\pi}{2}-1\Bigr) =\frac{3\pi^2-4\pi-8}{4\,(\pi-2)}.

Passo 4

Função de distribuição F(x)=\int_{\pi/2}^{x}f(t)\,dt:
F(x) =k\int_{\pi/2}^{x}\bigl[1+\cos(t)\bigr]dt =k\bigl[(t+\sin t)\bigr]_{\pi/2}^{x} =k\Bigl(x-\frac{\pi}{2}+\sin(x)-1\Bigr).
Substituindo k=\tfrac{2}{\pi-2}, fica
F(x) =\frac{2}{\pi-2}\Bigl(x-\frac{\pi}{2}+\sin(x)-1\Bigr), \quad \frac{\pi}{2}\le x\le\pi.

Passo 5

Probabilidade \displaystyle P\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\le X\le\pi\bigr):
P\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\le X\le\pi\bigr) =F(\pi)-F\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr).
Como F(\pi)=1, basta calcular
F\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =\frac{2}{\pi-2}\Bigl(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+\sin\tfrac{2\pi}{3}-1\Bigr).
Note que \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6} e \sin\tfrac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
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P\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\le X\le\pi\bigr) =1-\frac{2}{\pi-2}\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1\Bigr) =\frac{2\pi/3-\sqrt{3}}{\pi-2} =\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{3(\pi-2)}.

Resposta

(a) k=\displaystyle \frac{2}{\pi-2}.
(b) \displaystyle E(X)=\frac{3\pi^2-4\pi-8}{4(\pi-2)}.
(c) \displaystyle F(x)=\frac{2}{\pi-2}\Bigl(x-\frac{\pi}{2}+\sin x-1\Bigr),\quad \frac{\pi}{2}\le x\le\pi.
(d) \displaystyle P\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\le X\le\pi\bigr)=\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{3(\pi-2)}.

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