Seja a densidade
e
.
a) Mostre que
;
b) Calcule
;
c) Encontre a expressão para
;
d) Achar
.
a) Mostre que
b) Calcule
c) Encontre a expressão para
d) Achar
Passo 1
O enunciado define uma função densidade
com
, e pede:
a) determinar de modo que
seja densidade;
b) calcular a esperança ;
c) obter a função de distribuição acumulada ;
d) calcular .
a) determinar
b) calcular a esperança
c) obter a função de distribuição acumulada
d) calcular
Para resolver, vamos usar integrais para normalização e para calcular momentos e probabilidades, além da definição de
.
Passo 2
Normalização de
:
Calcule a integral interna:
logo
Da normalização vem
Passo 3
Cálculo de
:
Separe em duas integrais e use integração por partes para
:
Logo
Avalie nos limites:
em obtemos
,
em obtemos
.
A diferença é
em
em
A diferença é
Portanto
Passo 4
Função de distribuição
:
Substituindo
, fica
Passo 5
Probabilidade
:
Como
, basta calcular
Note que
e
.
Logo
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)