Seja uma va X com distribuição normal com média \mu=60 e variância \sigma^{2}=7,84.
a) Calcule P(X \geq 65,6) e P(X \leq 54,73).
b) Encontre k_{1} e k_{2} tal que P\left(k_{1} \leq X \leq k_{1}\right)=0,85.
c) Se Y=\frac{X}{4}-15, encontre a média e variância de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=60 e variância \sigma^{2}=7,84. Isso faz com que o desvio-padrão seja
\sigma = \sqrt{7,84} = 2,8.
Precisaremos usar a padronização para a normal padrão e tabelas (ou calculadora) da função de distribuição \Phi. Também vamos usar as propriedades de transformações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Padronizamos X pela variável
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que tem distribuição N(0,1). Assim,
P(X \geq a) = 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{a - \mu}{\sigma}\Bigr), \quad P(X \leq b) = \Phi\!\Bigl(\frac{b - \mu}{\sigma}\Bigr).

Passo 3

Para a=65,6:
\frac{65,6-60}{2,8} = \frac{5,6}{2,8} = 2.
Logo
P(X\ge 65{,}6) =1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}97725 =0{,}02275\approx0{,}0228.
Para b=54,73:
\frac{54{,}73 - 60}{2,8} = \frac{-5{,}27}{2,8}\approx -1{,}882.
Então
P(X\le 54{,}73) =\Phi(-1{,}882) \approx 0{,}0301.

Passo 4

Queremos k_{1} e k_{2} tais que
P\bigl(k_{1}\le X\le k_{2}\bigr)=0,85.
Para simetria ao redor de \mu, deixamos as caudas somarem 0,15, ou seja, cada cauda tem área 0,075. Assim o quantil superior é
z_{0,925} = \Phi^{-1}(0,925)\approx 1,4395.
Portanto
k_{1} = \mu - z_{0,925}\,\sigma =60 - 1,4395\cdot2,8 \approx 55,97,
k_{2} = \mu + z_{0,925}\,\sigma =60 + 1,4395\cdot2,8 \approx 64,03.

Passo 5

Para Y = \frac{X}{4} - 15, usamos:
E[Y] = \frac{1}{4}E[X] - 15 = \frac{1}{4}\cdot60 - 15 =15 - 15 =0,
\mathrm{Var}(Y) =\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2}\mathrm{Var}(X) =\frac{1}{16}\cdot7{,}84 =0{,}49.

Resposta

a) P(X\ge65{,}6)\approx0,0228 e P(X\le54{,}73)\approx0,0301.
b) k_{1}\approx55,97 e k_{2}\approx64,03.
c) E[Y]=0 e \mathrm{Var}(Y)=0,49.

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