Seja o desenvolvimento de (x+a)^{n}, onde n \in \mathbb{N}^{*}.
(a) Escreva a expressão do termo geral T_{p+1} do desenvolvimento.
(b) Determine a condição para que um termo qualquer do desenvolvimento seja independente de x.
(c) Usando a fórmula do termo geral, prove que a soma dos coeficientes binomiais no desenvolvimento de (x+a)^{n} é 2^{n}.
(d) Aplicação: No desenvolvimento de \left(2 x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{8}, determine:
  • O 5^{0} termo.
  • O termo independente de x.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre o desenvolvimento de (x+a)^{n}, com n\in\mathbb{N}^{*}. Lista clara do que foi pedido:
  1. (a) Escrever a expressão do termo geral T_{p+1} do desenvolvimento.
  2. (b) Determinar a condição para que um termo qualquer do desenvolvimento seja independente de x.
  3. (c) Usando a fórmula do termo geral, provar que a soma dos coeficientes binomiais no desenvolvimento de (x+a)^{n} é 2^{n}.
  4. (d) Aplicação: no desenvolvimento de \left(2 x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{8} determinar:
    • o 5^{0} termo;
    • o termo independente de x.
Informações dadas que usaremos: a expressão a desenvolver (x+a)^{n} e que n é inteiro positivo. Vou usar um índice p que varia de 0 até n para enumerar termos (o termo com p cópias do segundo somando será chamado de T_{p+1}).

Passo 2

Explicando a ideia do Teorema do Binômio (isso é fundamental para entender o termo geral). Considere (x+a)^{n} como o produto de n fatores idênticos (x+a). Ao expandir, de cada um dos n fatores escolhemos ou x ou a; um termo que contém exatamente p fatores iguais a a aparecerá com um coeficiente igual ao número de maneiras de escolher quais p dos n fatores deram a. Esse número é o coeficiente binomial \binom{n}{p}, que conta combinações e é dado por
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Assim, o termo com exatamente p vezes a e n-p vezes x terá potência de x igual a n-p e potência de a igual a p, e aparece \binom{n}{p} vezes.

Passo 3

(a) A partir do raciocínio anterior, escrevemos a expressão do termo geral. O termo que corresponde a escolher p vezes o a (e, portanto, n-p vezes o x) é
T_{p+1}=\binom{n}{p}\,x^{\,n-p}\,a^{\,p},
com p=0,1,2,\dots,n. Aqui \binom{n}{p} é o coeficiente binomial explicado no passo anterior, x^{\,n-p} é a potência de x que aparece e a^{\,p} é a potência de a.

Passo 4

(b) Vamos traduzir "termo independente de x". Um termo T_{p+1} tem fator x^{\,n-p} (pois a é tratado como constante). Para que o termo não contenha x (isto é, seja independente de x), precisamos que a potência de x seja zero. Portanto a condição é
n-p=0,
ou seja
p=n.
Interpretação: apenas o termo correspondente a p=n (ou seja, quando em todas as n escolhas escolhemos a) é independente de x; esse termo é T_{n+1}=\binom{n}{n}x^{0}a^{n}=a^{n}.

Passo 5

(c) Provar que a soma dos coeficientes binomiais é 2^{n} usando a fórmula do termo geral. Escrevemos o desenvolvimento completo:
(x+a)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}x^{\,n-p}a^{\,p}.
Se escolhermos x=1 e a=1, a expressão à esquerda é (1+1)^{n} e a soma à direita fica a soma dos coeficientes binomiais (pois 1^{\,\text{qualquer}}=1). Assim
\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}=(1+1)^{n}=2^{n}.
Comentário didático: interpretar isso combinatoriamente também é bonito — \binom{n}{p} conta escolhas de p elementos de um conjunto de n; somando para todo p contamos todas as subfamílias de qualquer tamanho, isto é, todas as 2^{n} subconjuntos.

Passo 6

Agora a aplicação (d). Primeiro adapto a fórmula do termo geral para a expansão de \left(2x^{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{8}. Vou identificar o “primeiro” termo como X=2x^{3} e o “segundo” termo como A=\dfrac{1}{x}. Pelo mesmo raciocínio do binômio, o termo geral (usando índice p que conta quantas vezes escolhemos A) é
T_{p+1}=\binom{8}{p}\,(2x^{3})^{\,8-p}\,\left(\frac{1}{x}\right)^{p},
com p=0,1,\dots,8. Agora simplifico potência por potência: o coeficiente numérico será \binom{8}{p}\,2^{\,8-p} e a potência de x será 3(8-p)-p (pois de (2x^{3})^{8-p} vem x^{3(8-p)} e de \left(\frac{1}{x}\right)^{p} vem x^{-p}). Logo a potência de x em T_{p+1} é
\text{expoente de }x = 3(8-p)-p = 24-4p.

Passo 7

(d) - Para o 5^{0} termo: conforme nosso índice, o 5^{0} termo corresponde a p=4 (porque o termo geral é T_{p+1}). Substituindo p=4:
Calcule \binom{8}{4}:
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70.
Calcule 2^{\,8-4}=2^{4}=16. Produto dos fatores numéricos:
70\cdot16=1120.
Calcule o expoente de x: 24-4p=24-4\cdot4=24-16=8. Portanto o 5^{0} termo é
1120\,x^{8}.

Passo 8

(d) - Termo independente de x: como explicado no Passo 6 a potência de x em T_{p+1} é 24-4p. Para que o termo seja independente de x queremos 24-4p=0, isto é
p=6.
Agora calculo o coeficiente numérico para p=6:
\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2\cdot1}=28,
e 2^{\,8-6}=2^{2}=4. Produto: 28\cdot4=112. O expoente de x é zero, então o termo independente de x é simplesmente
112.

Resposta

(a) T_{p+1}=\displaystyle \binom{n}{p}\,x^{\,n-p}\,a^{\,p} para p=0,1,\dots,n.\n(b) A condição é n-p=0, isto é p=n (o termo independente é a^{n}).\n(c) \displaystyle\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}= (1+1)^{n}=2^{n}.\n(d) 5^{0} termo: 1120\,x^{8}.\n(d) termo independente de x: 112.

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