Seja o desenvolvimento de
, onde
.
(a) Escreva a expressão do termo geral
do desenvolvimento.
(b) Determine a condição para que um termo qualquer do desenvolvimento seja independente de
.
(c) Usando a fórmula do termo geral, prove que a soma dos coeficientes binomiais no desenvolvimento de
é
.
(d) Aplicação: No desenvolvimento de
, determine:
- O
termo.
- O termo independente de
.
(a) Escreva a expressão do termo geral
(b) Determine a condição para que um termo qualquer do desenvolvimento seja independente de
(c) Usando a fórmula do termo geral, prove que a soma dos coeficientes binomiais no desenvolvimento de
(d) Aplicação: No desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre o desenvolvimento de
, com
. Lista clara do que foi pedido:
- (a) Escrever a expressão do termo geral
do desenvolvimento. - (b) Determinar a condição para que um termo qualquer do desenvolvimento seja independente de
. - (c) Usando a fórmula do termo geral, provar que a soma dos coeficientes binomiais no desenvolvimento de
é . - (d) Aplicação: no desenvolvimento de
determinar: - o
termo; - o termo independente de
.
- o
Informações dadas que usaremos: a expressão a desenvolver
e que
é inteiro positivo. Vou usar um índice
que varia de
até
para enumerar termos (o termo com
cópias do segundo somando será chamado de
).
Passo 2
Explicando a ideia do Teorema do Binômio (isso é fundamental para entender o termo geral). Considere
como o produto de
fatores idênticos
. Ao expandir, de cada um dos
fatores escolhemos ou
ou
; um termo que contém exatamente
fatores iguais a
aparecerá com um coeficiente igual ao número de maneiras de escolher quais
dos
fatores deram
. Esse número é o coeficiente binomial
, que conta combinações e é dado por
onde
(fatorial) significa
. Assim, o termo com exatamente
vezes
e
vezes
terá potência de
igual a
e potência de
igual a
, e aparece
vezes.
Passo 3
(a) A partir do raciocínio anterior, escrevemos a expressão do termo geral. O termo que corresponde a escolher
vezes o
(e, portanto,
vezes o
) é
com
. Aqui
é o coeficiente binomial explicado no passo anterior,
é a potência de
que aparece e
é a potência de
.
Passo 4
(b) Vamos traduzir "termo independente de
". Um termo
tem fator
(pois
é tratado como constante). Para que o termo não contenha
(isto é, seja independente de
), precisamos que a potência de
seja zero. Portanto a condição é
ou seja
Interpretação: apenas o termo correspondente a
(ou seja, quando em todas as
escolhas escolhemos
) é independente de
; esse termo é
.
Passo 5
(c) Provar que a soma dos coeficientes binomiais é
usando a fórmula do termo geral. Escrevemos o desenvolvimento completo:
Se escolhermos
e
, a expressão à esquerda é
e a soma à direita fica a soma dos coeficientes binomiais (pois
). Assim
Comentário didático: interpretar isso combinatoriamente também é bonito —
conta escolhas de
elementos de um conjunto de
; somando para todo
contamos todas as subfamílias de qualquer tamanho, isto é, todas as
subconjuntos.
Passo 6
Agora a aplicação (d). Primeiro adapto a fórmula do termo geral para a expansão de
. Vou identificar o “primeiro” termo como
e o “segundo” termo como
. Pelo mesmo raciocínio do binômio, o termo geral (usando índice
que conta quantas vezes escolhemos
) é
com
. Agora simplifico potência por potência: o coeficiente numérico será
e a potência de
será
(pois de
vem
e de
vem
). Logo a potência de
em
é
Passo 7
(d) - Para o
termo: conforme nosso índice, o
termo corresponde a
(porque o termo geral é
). Substituindo
:
Calcule :
Calcule
Calcule
. Produto dos fatores numéricos:
Calcule o expoente de
:
. Portanto o
termo é
Passo 8
(d) - Termo independente de
: como explicado no Passo 6 a potência de
em
é
. Para que o termo seja independente de
queremos
, isto é
Agora calculo o coeficiente numérico para
:
e
. Produto:
. O expoente de
é zero, então o termo independente de
é simplesmente
Resposta
(a)
para
.\n(b) A condição é
, isto é
(o termo independente é
).\n(c)
.\n(d)
termo:
.\n(d) termo independente de
:
.