SEJA DETERMIME:
f(x)=lvert, llx^2-7 x & SE x >= 2 3 x^2+5 x & SE x<2

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
Conteúdo: derivada de função definida por partes
Vamos precisar das regras de derivação (regra do polinômio e soma) e depois verificar a existência da derivada no ponto de troca (x=2).

Passo 2

Para x>2 a função é f(x)=x²−7x. Aplicando a regra do polinômio (derivada de xⁿ é n·xⁿ⁻¹) e da soma, temos
f'(x)=2x−7
para todo x>2.

Passo 3

Para x<2 a função é f(x)=3x²+5x. De modo semelhante, sua derivada é
f'(x)=6x+5
para todo x<2.

Passo 4

No ponto x=2 comparamos a derivada à direita e à esquerda:
Derivada à direita (x→2⁺): 2·2−7=4−7=−3
Derivada à esquerda (x→2⁻): 6·2+5=12+5=17
Como −3≠17, f não é derivável em x=2.

Resposta

f'(x)=2x-7,&x>2,6x+5,&x<2,não existe,&x=2ã

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