SEJA DETERMIME:
f(x)=lvert, llx^2-7 x & SE x >= 2 3 x^2+5 x & SE x<2

Passo 1

O enunciado define uma função por partes e pede a derivada em x=2. O conteúdo aqui é diferencial de função por partes, e vamos precisar verificar derivadas laterais e continuidade em x=2 para concluir se f é diferenciável ali.

Passo 2

Para x≥2 temos f(x)=x²−7x, então a derivada é f’(x)=2x−7. Logo a derivada pela direita em 2 é f’_+(2)=2·2−7=−3.

Passo 3

Para x<2 temos f(x)=3x²+5x, então a derivada é f’(x)=6x+5. Logo a derivada pela esquerda em 2 é f’_-(2)=6·2+5=17.

Passo 4

Para ser diferenciável em 2, f precisa ser contínua e ter derivadas laterais iguais. Calculando f(2) pelos dois lados: pela direita f(2)=2²−7·2=4−14=−10 e pela esquerda f(2)=3·2²+5·2=12+10=22. Como −10≠22, f não é contínua em 2 e as derivadas laterais são diferentes.

Resposta

f’(2) não existe, pois f’-(2)=17 e f’+(2)=−3

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