Calcule, sem usar derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo. Para resolver isso sem usar derivadas, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e lidar com valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador. Olha só:
-
Numerador: $ x^{2} - 1 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
-
Denominador: $ x^{3} - 1 $ é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
Então, substituindo de volta na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar os fatores com valor absoluto. Lembre-se que $ |a \cdot b| = |a| \cdot |b| $. Portanto:
Passo 4
Vamos analisar cada parte:
-
:
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^{2} + x + 1 $ se aproxima de $ 1 + 1 + 1 = 3 $, que é positivo. Então, $ |x^{2} + x + 1| = 3 $.Assim, essa parte simplifica para: -
:
Isso é basicamente a “função sinal”, que vale:- 1 se $ x > 1 $
- -1 se $ x < 1 $
Passo 5
Agora, vamos considerar o limite de $ x $ se aproximando de 1 por cima ($ x \to 1^+
x \to 1^- $):
-
Limite quando $ x \to 1^+ $ (pela direita):
- $ \frac{x - 1}{|x - 1|} = 1 $
Então, o limite fica: -
Limite quando $ x \to 1^- $ (pela esquerda):
- $ \frac{x - 1}{|x - 1|} = -1 $
Então, o limite fica:
Resposta
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (
e
), o limite não existe.