Calcule, sem usar derivadas:
lim x 1 x^2-1|x^3-1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
limx 1 x^2 - 1|x^3 - 1|
Aqui, estamos lidando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo. Para resolver isso sem usar derivadas, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e lidar com valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador. Olha só:
  • Numerador: $ x^{2} - 1 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
    x^2 - 1
  • Denominador: $ x^{3} - 1 $ é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
    x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, substituindo de volta na expressão original, temos:
x^3 - 1

Passo 3

Agora, vamos separar os fatores com valor absoluto. Lembre-se que $ |a \cdot b| = |a| \cdot |b| $. Portanto:
|a cdot b| = |a| cdot |b|

Passo 4

Vamos analisar cada parte:
  1. x + 1|x^2 + x + 1|:
    Quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^{2} + x + 1 $ se aproxima de $ 1 + 1 + 1 = 3 $, que é positivo. Então, $ |x^{2} + x + 1| = 3 $.
    Assim, essa parte simplifica para:
    x
  2. x^2 + x + 1 :
    Isso é basicamente a “função sinal”, que vale:
    • 1 se $ x > 1 $
    • -1 se $ x < 1 $

Passo 5

Agora, vamos considerar o limite de $ x $ se aproximando de 1 por cima ($ x \to 1^+ x x \to 1^- $):
  1. Limite quando $ x \to 1^+ $ (pela direita):
    • $ \frac{x - 1}{|x - 1|} = 1 $
    Então, o limite fica:
    x to 1^+
  2. Limite quando $ x \to 1^- $ (pela esquerda):
    • $ \frac{x - 1}{|x - 1|} = -1 $
    Então, o limite fica:
    x to 1^-

Resposta

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( 23 e -23), o limite não existe.

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