Seja
Determinar:
f(x)= k x, & 01

Passo 1

Então, o exercício diz que temos uma densidade de probabilidade dada por
f(x)= k,x, & 0 < x <= 1, 0, & x <= 0 ou x>1
E a gente precisa encontrar a esperança (E(X)) dessa variável aleatória contínua.
Conteúdo envolvido:
  • Conceito de densidade de probabilidade (pdf) e condição de normalização .
  • Fórmula da esperança para variável contínua:
    .

Passo 2

Primeiro a gente acha o valor de integral-infty^+infty f(x),dx =integral0^1 k,x ,dx + integralresto0,dx =1 usando a condição de que a área total sob a pdf deve ser 1:
integral0^1 k,x ,dx = k integral0^1 x,dx = k cdot x^22|0^1 = k cdot 12
Como fora do intervalo k ,12 =1 Longrightarrow k =2 a densidade vale zero, só precisamos da integral de a :
Logo:

Passo 3

Agora que já sabemos E(X)=integral-infty^+infty x,f(x),dx , lembramos a definição de esperança para variável contínua:
Só precisamos integrar no lugar onde não é zero, ou seja de a .

Passo 4

Substituindo E(X) =integral0^1 x,(2x),dx =2integral0^1 x^2,dx =2cdot x^33|0^1 =2cdot 13 =23 em , temos:

Resposta

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