Seja
Determinar:
f(x)= k x, & 01

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma função
k,x, & 01
e a gente quer calcular a variância de , onde é a densidade de probabilidade de .
Conteúdo da matéria: densidades, normalização, esperança e variância de uma variável contínua.
O que vamos precisar:
  • A condição para achar .
  • As fórmulas
    e
    .
  • A fórmula da variância: .

Passo 2

Normalização pra achar integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1k,x,dx = kintegral0^1x,dx = kcdotx^22|0^1 = k2 :
k2=1 Longrightarrow k=2
Como a integral deve dar 1, temos

Passo 3

Calcular E[X] =integral-infty^inftyx,f(x),dx =integral0^1x,(2x),dx =2integral0^1x^2,dx =2cdotx^33|0^1 =2cdot13 =23 :

Passo 4

Calcular E[X^2] =integral-infty^inftyx^2,f(x),dx =integral0^1x^2,(2x),dx =2integral0^1x^3,dx =2cdotx^44|0^1 =2cdot14 =12 :

Passo 5

Agora a variância:
Var(X) =E[X^2] - l(E[X]r)^2 =12 - l(23r)^2 =12 - 49 =918-818 =118

Resposta

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