Seja u=x^4+y^2 z^3, x=r s e^t, y=r s^2 e^-t e z=r^2 sen(t). Determine:
ut;

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e funções compostas. A gente precisa determinar a derivada parcial de u em relação a t , ou seja, ut . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como u depende de x , y e z . A função dada é:
u = x^4 + y^2 z^3
E sabemos que x , y e z são funções de r , s e t :
x = r s e^t
y = r s^2 e^-t
z = r^2 sin(t)
Para encontrar ut , precisamos ver como u muda quando t muda, considerando que x , y e z também mudam com t .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
ut = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t + partial upartial z cdot partial zpartial t
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 4

Calculando partial upartial x :
partial upartial x = 4x^3
Calculando partial upartial y :
partial upartial y = 2y z^3
Calculando partial upartial z :
partial upartial z = 3y^2 z^2

Passo 5

Agora, vamos derivar x , y e z em relação a t :
partial xpartial t = r s e^t
partial ypartial t = -r s^2 e^-t
partial zpartial t = r^2 cos(t)

Passo 6

Substituindo tudo na regra da cadeia:
ut = (4x^3)(r s e^t) + (2y z^3)(-r s^2 e^-t) + (3y^2 z^2)(r^2 cos(t))

Passo 7

Agora, substituímos x , y e z pelas suas expressões em termos de r , s e t :
x = r s e^t
y = r s^2 e^-t
z = r^2 sin(t)
Substituindo esses valores na expressão de ut :
ut = 4(r s e^t)^3 cdot r s e^t + 2(r s^2 e^-t)(r^2 sin(t))^3 cdot (-r s^2 e^-t) + 3(r s^2 e^-t)^2 (r^2 sin(t))^2 cdot r^2 cos(t)

Passo 8

Simplificando as potências e multiplicando os termos:
ut = 4 r^4 s^4 e^4t + (-2) r^5 s^4 e^-2t sin^3(t) + 3 r^6 s^4 e^-2t sin^2(t) cos(t)

Resposta

Portanto, a derivada parcial de u em relação a t é:
ut = 4 r^4 s^4 e^4t - 2 r^5 s^4 e^-2t sin^3(t) + 3 r^6 s^4 e^-2t sin^2(t) cos(t)

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