Seja
. Determine:
;
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e funções compostas. A gente precisa determinar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
,
e
. A função dada é:
E sabemos que
,
e
são funções de
,
e
:
Para encontrar
, precisamos ver como
muda quando
muda, considerando que
,
e
também mudam com
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
,
e
em relação a
:
Passo 6
Substituindo tudo na regra da cadeia:
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
pelas suas expressões em termos de
,
e
:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 8
Simplificando as potências e multiplicando os termos:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é: