Seja u=x^4+y^2 z^3, x=r s e^t, y=r s^2 e^-t e z=r^2 sen(t). Determine:
us;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de u em relação a s , ou seja, us . O enunciado nos dá as expressões de u , x , y e z em termos de r , s e t . Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial e a regra da cadeia, que nos ajuda a diferenciar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função u em termos de x , y e z :
u = x^4 + y^2 z^3
Nossa meta é encontrar us , a derivada parcial de u em relação a s . Como u depende de x , y e z , e esses por sua vez dependem de s , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x , y e z :
partial upartial x = 4x^3
partial upartial y = 2y z^3
partial upartial z = 3y^2 z^2
Essas derivadas nos dizem como u muda quando apenas uma das variáveis x , y ou z varia.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de x , y e z em relação a s :
x = r s e^t Rightarrow partial xpartial s = r e^t
y = r s^2 e^-t Rightarrow partial ypartial s = 2r s e^-t
z = r^2 sin(t) Rightarrow partial zpartial s = 0
Aqui, observamos que z não depende de s , então sua derivada em relação a s é zero.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
us = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s + partial upartial z cdot partial zpartial s
Substituindo as derivadas que calculamos:
us = 4x^3 cdot r e^t + 2y z^3 cdot 2r s e^-t + 3y^2 z^2 cdot 0
Simplificando:
us = 4r e^t x^3 + 4r s e^-t y z^3
Agora, substituímos x , y e z pelas suas expressões em termos de r , s e t :
x = r s e^t, y = r s^2 e^-t, z = r^2 sin(t)
Substituindo:
us = 4r e^t (r s e^t)^3 + 4r s e^-t (r s^2 e^-t) (r^2 sin(t))^3
Simplificando cada termo:
us = 4r e^t cdot r^3 s^3 e^3t + 4r s e^-t cdot r s^2 e^-t cdot r^6 sin^3(t)
us = 4r^4 s^3 e^4t + 4r^8 s^3 e^-2t sin^3(t)

Resposta

A derivada parcial de u em relação a s é:
us = 4 r^4 s^3 e^4t + 4 r^8 s^3 e^-2t sin^3(t)

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