Seja
. Determine:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. O enunciado nos dá as expressões de
,
,
e
em termos de
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial e a regra da cadeia, que nos ajuda a diferenciar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
em termos de
,
e
:
Nossa meta é encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
. Como
depende de
,
e
, e esses por sua vez dependem de
, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Essas derivadas nos dizem como
muda quando apenas uma das variáveis
,
ou
varia.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
:
Aqui, observamos que
não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Agora, substituímos
,
e
pelas suas expressões em termos de
,
e
:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: