Seja A=(rrr3 & 2 & 0 -6 & -5 & 0 -4 & -4 & 1).
Determine os autoespaços V(lambda1) e V(lambda2) de A e suas dimensões.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 3 & 2 & 0 -6 & -5 & 0 -4 & -4 & 1
e pede para determinar os autoespaços V(lambda1) e V(lambda2) e suas dimensões.
Conteúdo: cálculo de autovalores via polinômio característico e resolução de sistemas lineares para encontrar os autovetores.

Passo 2

Calcular o polinômio característico det(A-lambda I). Como a terceira coluna de A-lambda I é (0,0,1-lambda)^T,
det(A-lambda I) =(1-lambda)det3-lambda&2-6&-5-lambda
Agora
det3-lambda&2-6&-5-lambda =(3-lambda)(-5-lambda)-2cdot(-6) =lambda^2+2lambda-3
logo
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda^2+2lambda-3) =-(lambda-1)^2(lambda+3)
Portanto os autovalores são lambda=1 (algébrica multiplicidade 2) e lambda=-3 (mult.\ 1).

Passo 3

Para , resolvemos :
o que gera a equação única , i.e.\ , com livre.
Logo um vetor genérico é
o que mostra
de dimensão .

Passo 4

Para , resolvemos :
As duas primeiras linhas dão . A terceira dá .
Substituindo segue .
Portanto um vetor genérico é
e
de dimensão .

Resposta

, .
, .

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