Verifique que o conjunto das funções contínuas de R em R é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
C(R,R)
das funções contínuas de R em R, munido da soma e da multiplicação por escalar ponto a ponto, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre R. Vamos usar resultados básicos da teoria de funções contínuas e a herança de propriedades algébricas de R.

Passo 2

Definimos, para f,gin C(R,R) e alphainR:
,(f+g)(x)=f(x)+g(x)
e
,(alpha f)(x)=alphacdot f(x).
Como soma e produto por escalar em R preservam continuidade, conclui-se que f+g e alpha f são contínuas, isto é, C(R,R) é fechado sob essas operações.

Passo 3

A função zero é
,0(x)=0 para todo x,
e pertence a C(R,R). Ela é o elemento neutro da soma, pois
,(f+0)(x)=f(x).
Para cada f definimos o inverso aditivo -f por (-f)(x)=-f(x), que também é contínuo, e satisfaz
,f+(-f)=0.

Passo 4

Os demais axiomas de espaço vetorial (comutatividade e associatividade da soma, distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores e de escalares, existência de 1cdot f=f) decorrem diretamente das mesmas propriedades em R, aplicadas ponto a ponto.

Resposta

Conclui-se que C(R,R) é um espaço vetorial sobre R.

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