Verifique que o conjunto das funções contínuas de
em
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
das funções contínuas de em
, munido da soma e da multiplicação por escalar ponto a ponto, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre
. Vamos usar resultados básicos da teoria de funções contínuas e a herança de propriedades algébricas de
.
das funções contínuas de
Passo 2
Definimos, para
e
:
e
.
Como soma e produto por escalar em preservam continuidade, conclui-se que
e
são contínuas, isto é,
é fechado sob essas operações.
e
Como soma e produto por escalar em
Passo 3
A função zero é
para todo
,
e pertence a . Ela é o elemento neutro da soma, pois
.
Para cada definimos o inverso aditivo
por
, que também é contínuo, e satisfaz
.
e pertence a
Para cada
Passo 4
Os demais axiomas de espaço vetorial (comutatividade e associatividade da soma, distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores e de escalares, existência de
) decorrem diretamente das mesmas propriedades em
, aplicadas ponto a ponto.
Resposta
Conclui-se que
é um espaço vetorial sobre
.