Seja Q(x, y)=x^2-8 x y-5 y^2. Determine uma base beta tal que [v]beta=[lx1 y1] e Q(x1, y1)=a x1 ^2+b y1 ^2. Escreva a base e Q(x1, y1).

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
Q(x,y)=x^2-8xy-5y^2
em R^2 e pede uma base beta em que as coordenadas de um vetor v sejam l[x1;y1r]^T e
Q(x1,y1)=a,x1^2+b,y1^2,
isto é, queremos diagonalizar a forma quadrática. Para isso usamos a teoria de formas quadráticas simétricas: associamos uma matriz simétrica, encontramos seus autovalores e autovetores e tomamos estes últimos como base.

Passo 2

A matriz associada é
pois
Calculamos os autovalores de resolvendo
Fazendo as contas:
de onde

Passo 3

Para resolvemos , ou
Um autovetor associado é .
Para resolvemos , ou
Um autovetor associado é .

Passo 4

Tomamos a base beta=v1,v2 com
v1=(-2,1), v2=(1,2)
Nessa base as coordenadas de um vetor v são l[x1;y1r]^T.

Passo 5

Na base beta a forma quadrática fica diagonal, com coeficientes iguais aos autovalores, isto é,
Q(x1,y1)=3,x1^2+(-7),y1^2 =3x1^2-7y1^2

Resposta

A base que diagonaliza Q é
beta=,(-2,1),;(1,2),
e na nova base
Q(x1,y1)=3x1^2-7y1^2

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