Seja . Determine uma base tal que e . Escreva a base e .
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
em e pede uma base em que as coordenadas de um vetor sejam e
isto é, queremos diagonalizar a forma quadrática. Para isso usamos a teoria de formas quadráticas simétricas: associamos uma matriz simétrica, encontramos seus autovalores e autovetores e tomamos estes últimos como base.
Passo 2
A matriz associada é
pois
Calculamos os autovalores de resolvendo
Fazendo as contas:
de onde
Passo 3
Para resolvemos , ou
Um autovetor associado é .
Para resolvemos , ou
Um autovetor associado é .
Passo 4
Tomamos a base beta=v1,v2 com
v1=(-2,1), v2=(1,2)
Nessa base as coordenadas de um vetor v são l[x1;y1r]^T.
Passo 5
Na base beta a forma quadrática fica diagonal, com coeficientes iguais aos autovalores, isto é,