Verifique se a aplicação B: R^2 times R^2 R definida por B((x1, y1),(x2, y2))=x1 x2-2 y1 y2 é uma forma bilinear.

Passo 1

O enunciado pede para ver se a aplicação
Bcolon R^2 times R^2 to R, Bl((x1,y1),(x2,y2)r)=x1x2-2y1y2
é uma forma bilinear. Isso significa checar que, para todo (x1,y1),(x1',y1'),(x2,y2),(x2',y2')inR^2 e todo escalar sinR:
  1. Bl((x1+x1',y1+y1'),(x2,y2)r)=Bl((x1,y1),(x2,y2)r)+Bl((x1',y1'),(x2,y2)r)
  2. Bl((s x1,s y1),(x2,y2)r)=s,Bl((x1,y1),(x2,y2)r)
    e o mesmo tipo de propriedade no segundo argumento.

Passo 2

Vamos verificar linearidade no primeiro argumento. Fixe (x2,y2). Então
Bl((x1+x1',y1+y1'),(x2,y2)r) =(x1+x1')x2-2(y1+y1')y2
=x1x2+x1'x2-2y1y2-2y1'y2 =Bl((x1,y1),(x2,y2)r) + Bl((x1',y1'),(x2,y2)r)
Além disso, para sinR
Bl((s x1,s y1),(x2,y2)r) =s x1x2-2s y1y2 =sl(x1x2-2y1y2r) =s,Bl((x1,y1),(x2,y2)r)

Passo 3

Agora checamos linearidade no segundo argumento. Fixe (x1,y1). Então
Bl((x1,y1),(x2+x2',y2+y2')r) =x1(x2+x2')-2y1(y2+y2')
=x1x2+x1x2'-2y1y2-2y1y2' =Bl((x1,y1),(x2,y2)r) + Bl((x1,y1),(x2',y2')r)
E para escalar s:
Bl((x1,y1),(s x2,s y2)r) =x1(sx2)-2y1(sy2) =s(x1x2-2y1y2) =s,Bl((x1,y1),(x2,y2)r)

Passo 4

Como B satisfaz aditividade e homogeneidade em cada um dos dois argumentos, ela é bilinear por definição.

Resposta

Sim. A aplicação B é uma forma bilinear em R^2.

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