Seja f(x)=ln (e^2 x-1). Determine:
(a) f^-1(x) e a imagem de f^-1
y & =ln (e^2 x-1) e^y & =e^2 x-1 e^2 x & =e^y+1 2 x & =ln (e^y+1) x & =12 ln (e^y+1)
donde f^-1(x)=12 ln (e^x+1).
A imagem de f^-1 é o domínio de f : e um número x está no domínio de f quando
e^2 x-1 & >0 e^2 x & >1 2 x & >ln 1 x & >0
Assim, a imagem de f^-1 é o intervalo (0, infty).
(b) g(x) tal que f(g(x))=2 x.
Sabemos que f^-1(f(x))=x. Assim,
f(g(x)) & =2 x g(x) & =f^-1(2 x) & =12 ln (e^2 x+1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=lnl(e^2x-1r)
e pede:
(a) a inversa f^-1(x) e a imagem de f^-1;
(b) uma função g(x) tal que fl(g(x)r)=2x.
O conteúdo envolve manipulação de logaritmos e definição de inversa de função, além de análise de domínio e imagem.

Passo 2

Para encontrar f^-1, começamos definindo
y = lnl(e^2x-1r)
e resolvemos para x. Exponenciando ambos os lados:
e^y = e^2x-1
e^2x = e^y+1
2x = lnl(e^y+1r)
x = tfrac12,lnl(e^y+1r)

Passo 3

Trocando o papel de x e y na expressão obtida, obtemos a inversa
f^-1(x) = tfrac12,lnl(e^x+1r)

Passo 4

A imagem de f^-1 é igual ao domínio de f. Para achar esse domínio, exigimos
e^2x-1>0
e^2x>1
2x>0
x>0
Logo, a imagem de f^-1 é (0,infty).

Passo 5

Queremos g(x) tal que
fl(g(x)r)=2x
Aplicando f^-1 em ambos os lados:
g(x)=f^-1(2x) =tfrac12,lnl(e^2x+1r)

Resposta

(a) f^-1(x)=tfrac12lnl(e^x+1r), imagem de f^-1 é (0,infty).
(b) g(x)=tfrac12lnl(e^2x+1r).

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