6 Seja
um conjunto linearmente independente de vetores num espaço vetorial
. Se
é um vetor em
que não pertence ao espaço
, mostre que
ainda é um conjunto L.I.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto linearmente independente em um espaço vetorial
e que
, ou seja,
não pode ser escrito como combinação linear de
. O objetivo é mostrar que ao acrescentar
esse novo conjunto
permanece linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição de independência linear e um argumento por contradição.
Passo 2
Suponha que
seja linearmente dependente. Então existem escalares
, nem todos nulos, tais que
Nosso objetivo é chegar a uma contradição usando o fato de que
já é independente e que
não está no seu span.
Passo 3
Se
, então podemos isolar
e obter
o que significa que
. Isso contradiz a hipótese de que
. Logo, não pode ocorrer
.
Passo 4
Portanto
. Substituindo em
ficamos com
Como
é linearmente independente, segue que
. Assim todos os coeficientes são zero, e daí concluímos que
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.