6 Seja v1, v2, v3 um conjunto linearmente independente de vetores num espaço vetorial E. Se v4 é um vetor em E que não pertence ao espaço [v1, v2, v3], mostre que v1, v2, v3, v4 ainda é um conjunto L.I.

Passo 1

O enunciado diz que v1,v2,v3 é um conjunto linearmente independente em um espaço vetorial E e que v4notin [v1,v2,v3], ou seja, v4 não pode ser escrito como combinação linear de v1,v2,v3. O objetivo é mostrar que ao acrescentar v4 esse novo conjunto v1,v2,v3,v4 permanece linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição de independência linear e um argumento por contradição.

Passo 2

Suponha que v1,v2,v3,v4 seja linearmente dependente. Então existem escalares a1,a2,a3,a4, nem todos nulos, tais que
a1v1+a2v2+a3v3+a4v4=0
Nosso objetivo é chegar a uma contradição usando o fato de que v1,v2,v3 já é independente e que v4 não está no seu span.

Passo 3

Se a4neq 0, então podemos isolar v4 e obter
v4 = -a1a4,v1 - a2a4,v2 - a3a4,v3,
o que significa que v4in [v1,v2,v3]. Isso contradiz a hipótese de que v4notin [v1,v2,v3]. Logo, não pode ocorrer a4neq0.

Passo 4

Portanto a4=0. Substituindo em
a1v1+a2v2+a3v3+a4v4=0
ficamos com
a1v1+a2v2+a3v3=0
Como v1,v2,v3 é linearmente independente, segue que a1=a2=a3=0. Assim todos os coeficientes são zero, e daí concluímos que v1,v2,v3,v4 é linearmente independente.

Resposta

O conjunto v1,v2,v3,v4 é linearmente independente.

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