Exercício 8. Seja T: R^n longrightarrow R^m uma transformação linear. Seja B1 a base canônica de R^n e B2 a base canônica de R^m. Encontre uma matriz A de ordem m times n tal que
[T(x)]B2=A cdot[x]B1
A matriz A é chamada de matriz canônica associada com a transformação T. Descreva as colunas da matriz A.

Passo 1

O enunciado pede a construção da matriz canônica A de ordem mtimes n associada à transformação linear
Tcolon R^n to R^m
de modo que, para todo vetor xinR^n, valha
[T(x)]B2 ;=; A,[x]B1
Aqui B1 e B2 são as bases canônicas de R^n e R^m, respectivamente.

Passo 2

Em B1 a base canônica de R^n é e1,dots,en, onde
ej = (0,dots,0,1,0,dots,0)^T
tem 1 na posição j. Assim, se x=(x1,dots,xn)^T, então
[x]B1 = x1 vdots xn
Pela linearidade de T podemos decompor
x = x1 e1 + cdots + xn en
e aplicar T.

Passo 3

Aplicando T à combinação linear obtemos
T(x) ;=; Tl(x1 e1 + cdots + xn enr) ;=; x1,T(e1) + cdots + xn,T(en)
Em coordenadas na base canônica B2subsetR^m, isso vira
[T(x)]B2 ;=; x1,[T(e1)]B2 + cdots + xn,[T(en)]B2

Passo 4

A expressão anterior é exatamente o produto de uma matriz A pelas coordenadas de x. Se definirmos
A = [T(e1)]B2 & [T(e2)]B2 & cdots & [T(en)]B2 ,
então
A,[x]B1 = x1,[T(e1)]B2 + cdots + xn,[T(en)]B2 = [T(x)]B2
Logo A satisfaz a condição desejada.

Resposta

A matriz canônica A associada a T é a matriz mtimes n cujas colunas são os vetores
[T(e1)]B2, ;[T(e2)]B2,;dots,;[T(en)]B2
Em outras palavras, a j-ésima coluna de A é T(ej) expressa na base canônica de R^m.

Exercícios relacionados