Exercício 8. Seja
uma transformação linear. Seja
a base canônica de
e
a base canônica de
. Encontre uma matriz
de ordem
tal que
A matriz
é chamada de matriz canônica associada com a transformação
. Descreva as colunas da matriz
.
Passo 1
O enunciado pede a construção da matriz canônica
de ordem
associada à transformação linear
de modo que, para todo vetor
, valha
Aqui
e
são as bases canônicas de
e
, respectivamente.
Passo 2
Em
a base canônica de
é
, onde
tem 1 na posição
. Assim, se
, então
Pela linearidade de
T podemos decompor
e aplicar
T .
Passo 3
Aplicando
T à combinação linear obtemos
Em coordenadas na base canônica
B2subsetR^m , isso vira
Passo 4
A expressão anterior é exatamente o produto de uma matriz
A pelas coordenadas de
x . Se definirmos
então
Logo
A satisfaz a condição desejada.
Resposta
A matriz canônica
A associada a
T é a matriz
mtimes n cujas colunas são os vetores
Em outras palavras, a
j -ésima coluna de
A é
T(ej) expressa na base canônica de
R^m .