Após estudo detalhado sobre o comportamento dinâmico da temperatura de um forno industrial, chegou-se à conclusão que deve ser implementado um controlador discreto com a seguinte função de transferência:
H(z)=z+3z^2+3 z+2
Determine a expressão para o sinal obtido na saída do controlador caso seja aplicado à sua entrada o sinal de.

Passo 1

O enunciado pede para achar a saída do controlador discreto quando a entrada é o impulso unitário de. O controlador tem função de transferência H(z)=dfracz+3z^2+3z+2. O conteúdo é de sinais e sistemas discretos e vamos precisar usar a transformada inversa de Z para obter a resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador de H(z):
z^2+3z+2 = (z+1)(z+2)
Em seguida fazemos a expansão em frações parciais:
z+3(z+1)(z+2) = Az+1 + Bz+2
Igualando numeradores: z+3 = A(z+2)+B(z+1), obtemos o sistema:
A + B = 1, 2A + B = 3
Resolvendo, A=2 e B=-1.

Passo 3

Reescrevemos cada fração para facilitar a inversa de Z. Usamos a forma:
1z+a = z^-11 + a,z^-1 = sumk=0^infty(-a)^k,z^-k-1
Então:
2z+1 = 2z^-11 + 1,z^-1 = 2sumk=0^infty(-1)^k z^-k-1,
-1z+2 = -z^-11 + 2,z^-1 = -sumk=0^infty(-2)^k z^-k-1

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa de Z unilateral (série em z^-1). Cada soma gera um termo em z^-n que corresponde a um deslocamento de 1:
y[n] = 2(-1)^n-1u[n-1] , - , (-2)^n-1u[n-1]
Aqui u[n-1] garante que a resposta comece em n=1, e em n=0 temos y[0]=0.

Resposta

y[n]=(2(-1)^n-1-(-2)^n-1),u[n-1], ou equivalentemente:
y[0]=0, y[n]=2(-1)^n-1-(-2)^n-1 para n>=1

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