Seja , determine o valor numérico de f(x)=ll1x-1-3x^3-1, & se x neq 1 L, & se x=1 tal que L seja contínua em seu domínio.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. O problema nos pede para encontrar o valor de $ L $ que faz com que a função $ f(x) $ seja contínua no ponto $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite quando $ x $ se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para $ f(x) $ ser contínua em $ x = 1 $, precisamos que:
x

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. A função para $ x \neq 1 $ é:
f(x)
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \frac{3}{x^{3} -1} $. Sabemos que $ x^{3} - 1 $ pode ser fatorado usando a fórmula da diferença de cubos:
x
Então:
x neq 1

Passo 4

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original de $ f(x) $:
f(x)

Passo 5

Para simplificar isso, vamos combinar as frações:
f(x) = x^2 + x + 1 - 3(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^2 + x - 2(x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 6

Agora, vamos fatorar o numerador $ x^{2} + x - 2 $:
x^2 + x - 2
Então:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Passo 7

Com essa simplificação, podemos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1:
x

Resposta

O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = 1 $ é 1.

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