Seja , determine o valor numérico de
tal que
seja contínua em seu domínio.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. O problema nos pede para encontrar o valor de $ L $ que faz com que a função $ f(x) $ seja contínua no ponto $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite quando $ x $ se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para $ f(x) $ ser contínua em $ x = 1 $, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. A função para $ x \neq 1 $ é:
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \frac{3}{x^{3} -1} $. Sabemos que $ x^{3} - 1 $ pode ser fatorado usando a fórmula da diferença de cubos:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original de $ f(x) $:
Passo 5
Para simplificar isso, vamos combinar as frações:
Passo 6
Agora, vamos fatorar o numerador $ x^{2} + x - 2 $:
Então:
Passo 7
Com essa simplificação, podemos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1:
Resposta
O valor de $ L $ que torna a função contínua em $ x = 1 $ é 1.