Seja um disco homogêneo de raio R e massa M, um ponto O sobre o plano definido pelo plano do disco e um ponto P pertencente ao disco. As distâncias entre esses pontos e o centro de massa do disco são constantes e valem L e r, respectivamente. O disco realiza uma rotação pura, com velocidade angular omega, em torno do eixo perpendicular ao plano do disco e passando por O.
a) Escreva o momento de inércia IC M do disco em relação ao eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo centro de massa. Ic m=M R^2 / 2
b) Calcule o momento de inércia I0 do disco em relação a um eixo paralelo passando por O I0=M(R^2+2 L^2) / 2
c) Calcule a energia cinética do disco, relativa a O, através da fórmula K=12 I0 omega^2 K=M(R^2+2 L^2) omega^2 / 4
d) Na situação do item anterior, calcule o módulo da velocidade relativa entre P e o centro de massa. v=r omega
e) Com base na velocidade encontrada no item anterior e sabendo a separação entre os pontos em questão, determine o tipo de movimento que P faz em relação ao centro de massa. rotação pura com velocidade angular omega
f) Calcule a energia cinética do disco, relativa a O, interpretando seu movimento como uma combinação de translação do centro de massa, mais rotação em torno do eixo passando pelo centro de massa, ou seja, calcule a energia cinética, partindo de K=M Vc m^22+Ic m omega^22. K=M(R^2+2 L^2) omega^2 / 4

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de um disco homogêneo (massa M, raio R) que gira com ω em torno de um eixo perpendicular ao disco passando por O, que fica a uma distância L do centro de massa (CM). Tem também um ponto P dentro do disco, a r do CM. Vamos usar:
  • Momento de inércia de disco no CM,
  • Teorema de Steiner (eixo paralelo),
  • Energia cinética de corpo rígido (rotação pura e decomposição translação+rotação),
  • Relação v=ωr pra movimento circular.

Passo 2

Item (a): momento de inércia no CM.
Teoria: para um disco homogêneo girando em torno de eixo perpendicular ao plano,
Icm ;=;12,M,R^2

Passo 3

Item (b): momento de inércia em O.
Teorema de Steiner (eixo paralelo):
I0 ;=; Icm ;+; M,L^2 = 12 M R^2 ;+; M L^2 = M,(R^2+2L^2)2

Passo 4

Item ©: energia cinética em relação a O.
Pra rotação pura em torno de O vale
K ;=; tfrac12,I0,omega^2 = tfrac12 cdot M,(R^2+2L^2)2;omega^2 = M,(R^2+2L^2),omega^24

Passo 5

Item (d): velocidade de P relativa ao CM.
Teoria: em qualquer rotação pura v_tangencial = ω·(raio). Aqui raio = r, então
v = r,omega

Passo 6

Item (e): tipo de movimento de P em relação ao CM.
Como P descreve um círculo de raio r em torno do CM com velocidade tangencial v=rω, é rotação pura (em torno do CM) com a mesma ω.

Passo 7

Item (f): energia cinética via decomposição translação+rotação.
– Translação do CM: K = 12M L^2omega^2 + 14M R^2omega^2 = M,(R^2+2L^2),omega^24, , .
– Rotação em torno do CM: .
Somando:
que é o mesmo resultado do item ©.

Resposta

a)
b)
c)
d)
e) P faz rotação pura em torno do CM com velocidade angular ω
f)

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