Seja um disco homogêneo de raio
e massa
, um ponto
sobre o plano definido pelo plano do disco e um ponto
pertencente ao disco. As distâncias entre esses pontos e o centro de massa do disco são constantes e valem
e
, respectivamente. O disco realiza uma rotação pura, com velocidade angular
, em torno do eixo perpendicular ao plano do disco e passando por
.
a) Escreva o momento de inércia
do disco em relação ao eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo centro de massa.
b) Calcule o momento de inércia
do disco em relação a um eixo paralelo passando por
c) Calcule a energia cinética do disco, relativa a
, através da fórmula
d) Na situação do item anterior, calcule o módulo da velocidade relativa entre
e o centro de massa.
e) Com base na velocidade encontrada no item anterior e sabendo a separação entre os pontos em questão, determine o tipo de movimento que
faz em relação ao centro de massa. rotação pura com velocidade angular
f) Calcule a energia cinética do disco, relativa a
, interpretando seu movimento como uma combinação de translação do centro de massa, mais rotação em torno do eixo passando pelo centro de massa, ou seja, calcule a energia cinética, partindo de
.
a) Escreva o momento de inércia
b) Calcule o momento de inércia
c) Calcule a energia cinética do disco, relativa a
d) Na situação do item anterior, calcule o módulo da velocidade relativa entre
e) Com base na velocidade encontrada no item anterior e sabendo a separação entre os pontos em questão, determine o tipo de movimento que
f) Calcule a energia cinética do disco, relativa a
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de um disco homogêneo (massa M, raio R) que gira com ω em torno de um eixo perpendicular ao disco passando por O, que fica a uma distância L do centro de massa (CM). Tem também um ponto P dentro do disco, a r do CM. Vamos usar:
- Momento de inércia de disco no CM,
- Teorema de Steiner (eixo paralelo),
- Energia cinética de corpo rígido (rotação pura e decomposição translação+rotação),
- Relação v=ωr pra movimento circular.
Passo 2
Item (a): momento de inércia no CM.
Teoria: para um disco homogêneo girando em torno de eixo perpendicular ao plano,
Teoria: para um disco homogêneo girando em torno de eixo perpendicular ao plano,
Passo 3
Item (b): momento de inércia em O.
Teorema de Steiner (eixo paralelo):
Teorema de Steiner (eixo paralelo):
Passo 4
Item ©: energia cinética em relação a O.
Pra rotação pura em torno de O vale
Pra rotação pura em torno de O vale
Passo 5
Item (d): velocidade de P relativa ao CM.
Teoria: em qualquer rotação pura v_tangencial = ω·(raio). Aqui raio = r, então
Teoria: em qualquer rotação pura v_tangencial = ω·(raio). Aqui raio = r, então
Passo 6
Item (e): tipo de movimento de P em relação ao CM.
Como P descreve um círculo de raio r em torno do CM com velocidade tangencial v=rω, é rotação pura (em torno do CM) com a mesma ω.
Como P descreve um círculo de raio r em torno do CM com velocidade tangencial v=rω, é rotação pura (em torno do CM) com a mesma ω.
Passo 7
Item (f): energia cinética via decomposição translação+rotação.
– Translação do CM: ,
.
– Rotação em torno do CM: .
Somando:
– Translação do CM:
– Rotação em torno do CM:
Somando:
que é o mesmo resultado do item ©.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) P faz rotação pura em torno do CM com velocidade angular ω
f)
b)
c)
d)
e) P faz rotação pura em torno do CM com velocidade angular ω
f)