Seja g(x, y)=rll3 x^2 yx^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0). Discuta a descontinuidade de g

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)= dfrac3x^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para discutir onde ela é descontínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar a continuidade em (x,y)neq(0,0) e em (0,0).

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo, e g é quociente de polinômios sem ponto de indeterminação. Logo, g é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0), precisamos checar
lim(x,y)to(0,0)g(x,y) =g(0,0)=0
Defina r=raizx^2+y^2. Então |x|<= r e |y|<= r, e
|g(x,y)|=3|x|^2,|y|x^2+y^2 <=3,r^2,rr^2 =3r

Passo 4

Como 3rto0 quando (x,y)to(0,0) (isto é, rto0), pelo Teorema do Confronto segue
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0
Portanto, a função atinge o mesmo valor g(0,0)=0 neste ponto.

Resposta

A função g é contínua em todos os pontos de R^2. Não há descontinuidade.

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