e pede para discutir onde ela é descontínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar a continuidade em (x,y)neq(0,0) e em (0,0).
Passo 2
Se (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo, e g é quociente de polinômios sem ponto de indeterminação. Logo, g é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Em (0,0), precisamos checar
lim(x,y)to(0,0)g(x,y) =g(0,0)=0
Defina r=raizx^2+y^2. Então |x|<= r e |y|<= r, e
|g(x,y)|=3|x|^2,|y|x^2+y^2 <=3,r^2,rr^2 =3r
Passo 4
Como 3rto0 quando (x,y)to(0,0) (isto é, rto0), pelo Teorema do Confronto segue
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0
Portanto, a função atinge o mesmo valor g(0,0)=0 neste ponto.
Resposta
A função g é contínua em todos os pontos de R^2. Não há descontinuidade.