Mostre que o domínio da função f(x, y)=raizy^2-1x não é um conjunto aberto nem fechado em R^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o domínio da função
f(x,y)=raizy^2-1x
não é nem aberto nem fechado em R^2. O conteúdo aqui é topologia no plano: lembrar que um conjunto AsubsetR^2 é aberto se todo ponto de A é interior (isto é, tem uma bola aberta contida em A), e é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (equivalente a dizer que seu complemento é aberto ou que toda sequência em A que converge em R^2 tem limite em A).

Passo 2

Primeiro, caracterizamos o domínio D exigindo que a raiz exista e o denominador não seja zero:
y^2-1>=0 e xneq0
Logo
D=l(x,y)inR^2mid y^2>=1,;xneq0r =(x,y)mid y<=-1 ou y>=1,;xneq0

Passo 3

Vamos ver que D não é aberto. Note que o ponto
(1,1)in D
satisfaz y=1 (logo raizy^2-1=0) e x=1neq0. Porém, qualquer bola aberta
Br(1,1)=(x,y)mid (x-1)^2+(y-1)^2<r^2
com r>0 contém pontos com y<1. Para esses pontos y^2-1<0, então eles não pertencem a D. Concluímos que não existe r>0 tal que Br(1,1)subset D, ou seja, (1,1) não é ponto interior. Logo D não é aberto.

Passo 4

Agora mostramos que D não é fechado. Considere a sequência
l(tfrac1n,2r)(n=1,2,3,dots)
Cada termo está em D porque 2^2-1>0 e 1/nneq0. Mas
limntoinftyl(tfrac1n,2r)=(0,2),
e (0,2)notin D (pois x=0 ali). Assim há um ponto de acumulação de D que não pertence a D, o que impede D de ser fechado.

Resposta

O domínio
D=(x,y)mid y^2>=1,;xneq0
não é aberto nem fechado em R^2.

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