Mostre que o domínio da função
não é um conjunto aberto nem fechado em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o domínio da função
não é nem aberto nem fechado em
. O conteúdo aqui é topologia no plano: lembrar que um conjunto
é aberto se todo ponto de
é interior (isto é, tem uma bola aberta contida em
), e é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (equivalente a dizer que seu complemento é aberto ou que toda sequência em
que converge em
tem limite em
).
Passo 2
Primeiro, caracterizamos o domínio
exigindo que a raiz exista e o denominador não seja zero:
Logo
Passo 3
Vamos ver que
não é aberto. Note que o ponto
satisfaz (logo
) e
. Porém, qualquer bola aberta
satisfaz
com
contém pontos com
. Para esses pontos
, então eles não pertencem a
. Concluímos que não existe
tal que
, ou seja,
não é ponto interior. Logo
não é aberto.
Passo 4
Agora mostramos que
não é fechado. Considere a sequência
Cada termo está em
porque
e
. Mas
e
(pois
ali). Assim há um ponto de acumulação de
que não pertence a
, o que impede
de ser fechado.
Resposta
O domínio
não é aberto nem fechado em
.