Vimos que, dado um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, o espaço gerado por eles é um subespaço de V. A recíproca é verdadeira. Isto é, todo subespaço é gerado por um conjunto de vetores. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços do espaço V indicado.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subespaço
Precisamos encontrar um conjunto de vetores em
cujo span seja exatamente
.
Passo 2
Como
é o conjunto de soluções de uma única equação linear homogênea em
, temos
Logo
é um plano que passa pela origem e pode ser descrito por dois parâmetros livres.
Passo 3
Escolhemos
e
como parâmetros livres e escrevemos
Da equação
segue
Portanto um vetor genérico de
é
Passo 4
Agora reescrevemos
como combinação linear de vetores fixos:
Isto mostra que
Resposta
Um conjunto de geradores para
é