Vimos que, dado um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, o espaço gerado por eles é um subespaço de V. A recíproca é verdadeira. Isto é, todo subespaço é gerado por um conjunto de vetores. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços do espaço V indicado.
S=(x, y, z): x+2 y-z=0 V=R^3

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^3 e o subespaço
S=(x,y,z)mid x+2y-z=0
Precisamos encontrar um conjunto de vetores em R^3 cujo span seja exatamente S.

Passo 2

Como S é o conjunto de soluções de uma única equação linear homogênea em R^3, temos
dim(S)=3-1=2
Logo S é um plano que passa pela origem e pode ser descrito por dois parâmetros livres.

Passo 3

Escolhemos y e z como parâmetros livres e escrevemos
y=s, z=t
Da equação x+2y-z=0 segue
x=-2s+t
Portanto um vetor genérico de S é
(x,y,z)=(-2s+t,;s,;t)

Passo 4

Agora reescrevemos (-2s+t,s,t) como combinação linear de vetores fixos:
(-2s+t,s,t)=s,(-2,1,0)+t,(1,0,1)
Isto mostra que
S=span(-2,1,0),(1,0,1)

Resposta

Um conjunto de geradores para S é
,(-2,1,0),;(1,0,1)

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