Seja A domínio de integridade ordenado. Mostre que:
se a neq 0 ou b neq 0, então a^2+a b+b^2>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um domínio de integridade ordenado A, se pelo menos um entre a e b é não nulo, então
a^2 + a b + b^2 > 0
Aqui vamos usar duas coisas fundamentais de domínios ordenados:
  1. Em A, 1>0, logo ncdot1>0 para todo inteiro positivo n.
  2. Se x>0 e y>0, então xy>0, e se c>0 e cx>0, então x>0.

Passo 2

Se b=0 mas aneq0, então
a^2 + acdot0 + 0^2 = a^2
Como aneq0, temos a^2>0 em domínio ordenado. Logo a desigualdade vale. De modo análogo, se a=0 e bneq0, então a^2+ab+b^2=b^2>0.

Passo 3

Agora suponha aneq0 e bneq0. Observe que
4l(a^2 + a b + b^2r) =4a^2 +4ab +4b^2 =(2a+b)^2 + 3,b^2
Aqui usamos que (2a+b)^2 =4a^2+4ab+b^2 e 3b^2=(1+1+1)b^2.

Passo 4

Em domínio ordenado, quadrado de elemento (não necessariamente não-nulo) satisfaz (2a+b)^2>=0, e como bneq0 temos b^2>0 e também 3b^2>0. Portanto
(2a+b)^2 + 3b^2 > 0,
isto é,
4l(a^2 + a b + b^2r)>0

Passo 5

Como 4>0 em A, da desigualdade
4l(a^2 + a b + b^2r)>0
podemos “cancelar” o fator positivo 4 para obter
a^2 + a b + b^2 >0

Resposta

Ficou demonstrado que, se a e b não são ambos zero, então a^2+ab+b^2>0.

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