Seja
domínio de integridade ordenado. Mostre que:
se
ou
, então
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um domínio de integridade ordenado
, se pelo menos um entre
e
é não nulo, então
Aqui vamos usar duas coisas fundamentais de domínios ordenados:
- Em
, , logo para todo inteiro positivo . - Se
e , então , e se e , então .
Passo 2
Se
mas
, então
Como
, temos
em domínio ordenado. Logo a desigualdade vale. De modo análogo, se
e
, então
.
Passo 3
Agora suponha
e
. Observe que
Aqui usamos que
e
.
Passo 4
Em domínio ordenado, quadrado de elemento (não necessariamente não-nulo) satisfaz
, e como
temos
e também
. Portanto
isto é,
Passo 5
Como
em
, da desigualdade
podemos “cancelar” o fator positivo
para obter
Resposta
Ficou demonstrado que, se
e
não são ambos zero, então
.