Seja X a duração da vida (medida em horas) de um dispositivo eletrônico. Suponha que X seja uma v.a. contínua com fdp f(x)=k / x^n, 2000 <= x <= 10000.
(a) Para n=2 determine k.
(b) Para n=3 determine k.
© Para n geral, determine k.
(d) Qual a probabilidade de que o dispositivo falhe antes que 5000 horas se tenham passado?
(e) Esboce a função de distribuição para a letra c e determine sua forma algébrica.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a vida f(x)=kx^n, 2000<= x<=10000, de um aparelho (em horas) tem densidade
e zero fora desse intervalo.
Conteúdo: PDF de v.a. contínua, normalização (∫f=1), CDF (função de distribuição).
Vamos usar:
  • Integração de pra achar .
  • Montar a CDF .
  • Calcular probabilidades com essa CDF.

Passo 2

Parte (a): integral2000^10000kx^2,dx = kintegral2000^10000x^-2dx = kl[-tfrac1xr]2000^10000 = kl(-tfrac110000+tfrac12000r)=1 .
  1. Escreve a condição -tfrac110000+tfrac12000=tfrac12000-tfrac110000 =tfrac5-110000=tfrac410000=tfrac12500 :
kcdottfrac12500=1 Longrightarrow k=2500
  1. Simplifica:
Logo

Passo 3

Parte (b): integral2000^10000kx^3dx =kintegral2000^10000x^-3dx =kl[-tfrac12x^2r]2000^10000 =kl(-tfrac12cdot10^8+tfrac12cdot(2000)^2r)=1 .
-tfrac12cdot10^8+tfrac12cdot4cdot10^6 =tfrac18cdot10^6-tfrac12cdot10^8 =tfrac1210^8=1,2times10^-7
Calculando a diferença:
kcdot1,2times10^-7=1 Longrightarrow k=11,2times10^-7 =8,333,333times10^6 approx8,33times10^6
Então

Passo 4

Parte ©: k=1-n10000^1-n-2000^1-n =n-12000^1-n-10000^1-n genérico.
  1. Impor .
  2. Logo

Passo 5

Parte (d): F(5000)=integral2000^5000kx^ndx =k;5000^1-n-2000^1-n1-n .
Usamos a CDF parcial
P(X<=5000) =F(5000) =5000^1-n-2000^1-n 10000^1-n-2000^1-n
Substituindo , dá

Passo 6

Parte (e): esboço e forma algébrica da CDF F(x) =integral2000^xkt^ndt =k1-nl(x^1-n-2000^1-nr) (para F(x) =x^1-n-2000^1-n 10000^1-n-2000^1-n (2000<= x<=10000) ).
  1. Para , .
  2. Para , .
  3. No meio,
Substituindo , ficamos com
No esboço, é uma curva crescente que parte de 0 em e atinge 1 em .

Resposta

a) F(x)= 0, & x<2000,[6pt] dfracx^1-n-2000^1-n 10000^1-n-2000^1-n, & 2000<= x<=10000,[6pt] 1, & x>10000 para
b) (aprox.) para
c)
d)
e)

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